Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）．
（1）求此函數(shù)的解析式和對稱軸；
（2）試探索拋物線的對稱軸上存在幾個點(diǎn)P，使三角形PAB是直角三角形，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）把點(diǎn)A、B、C、的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可，根據(jù)對稱軸公式求解即可；
（2）設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為D，求出AD的長度，然后分①點(diǎn)A是直角頂點(diǎn)時，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出BE、AE的長，再根據(jù)同角的余角相等求出∠APD=∠BAE，然后求出△ABE和△PAD相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出PD的長，從而得解；②點(diǎn)B是直角頂點(diǎn)時，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，作BF⊥對稱軸與F，求出AE、BF的長度，再根據(jù)同角的余角相等求出∠ABE=∠PBF，然后求出△ABE和△PBF相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出PF的長，再求出PD的長，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；③點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)時，過點(diǎn)B作BE⊥對稱軸于E，根據(jù)同角的余角相等求出∠2=∠3，然后求出△APD和△PBE相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出關(guān)于PD的一元二次方程，然后求出PD的長，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），B（2，-3），C（0，-3），
∴

9a+3b+c=0 4a+2b+c=-3 c=-3

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

，
∴此函數(shù)的解析式為y=x²-2x-3，
對稱軸為直線x=-

b

2a

=-

-2

2×1

=1，
即直線x=1；

（2）設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為D，則AD=3-1=2，
①如圖1，點(diǎn)A是直角頂點(diǎn)時，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，
∵A（3，0），B（2，-3），
∴BE=3，AE=3-2=1，
∵∠PAD+∠BAE=∠PAB=90°，
∠PAD+∠APD=180°-90°=90°，
∴∠APD=∠BAE，
又∵∠ADP=∠AEB=90°，
∴△ABE∽△PAD，
∴

AE

PD

=

BE

AD

，
即

1

PD

=

3

2

，
解得PD=

2

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，

2

3

）；

②如圖2，點(diǎn)B是直角頂點(diǎn)時，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，作BF⊥對稱軸與F，
則AE=1，BF=2-1=1，DF=BE=3，
∵∠ABE+∠PBE=90°，
∠PBF+∠PBE=90°，
∴∠ABE=∠PBF，
又∵∠AEB=∠PFB=90°，
∴△ABE∽△PBF，
∴

AE

PF

=

BE

BF

，
即

1

PF

=

3

1

，
解得PF=

1

3

，
∴PD=DF-PF=3-

1

3

=

8

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-

8

3

）；

③如圖3，點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)時，過點(diǎn)B作BE⊥對稱軸于E，
∵∠1+∠2=180°-90°=90°，
∠1+∠3=180°-90°=90°，
∴∠2=∠3，
又∵∠ADP=∠PEB=90°，
∴△APD∽△PBE，
∴

AD

PE

=

PD

BE

，
即

2

3-PD

=

PD

1

，
整理得，PD²-3PD+2=0，
解得PD=1或PD=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1）或（1，-2），
綜上所述，在對稱軸上存在P₁（1，

2

3

），P₂（1，-

8

3

），P₃（1，-1），P₄（1，-2）共4個點(diǎn)，使△PAB是直角三角形．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合題，但難度不大，關(guān)鍵在于要根據(jù)直角頂點(diǎn)的不同分情況討論，作出圖形更形象直觀．