Question

如圖，點(diǎn)B在以PA為直徑的圓周上，點(diǎn)C在線段AB上，已知PA=5，PB=3，PC=

15 2

7

，設(shè)∠APC=α，求角α的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,勾股定理,解直角三角形

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)圓周角定理的推論得到∠APB=90°，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=4，BC=

3

7

，則AC=

25

7

，再證明Rt△CDA∽R(shí)t△PBA，利用相似比計(jì)算出CD=

15

7

，AD=

20

7

，所以PD=PA-AD=

15

7

=CD，則可判斷△PCD為等腰直角三角形，于是得到α=45°．

解答：解：作CD⊥PA于D，如圖，
∵PA為直徑，
∴∠APB=90°，
在Rt△PAB中，PA=5，PB=3，
∴AB=

PA2-PB2

=4，
在Rt△PBC中，PC=

15 2

7

，PB=3，
∴BC=

PC2-PB2

=

3

7

，
∴AC=AB-BC=

25

7

，
∵∠CAD=∠PAB，
∴Rt△CDA∽R(shí)t△PBA，
∴

CD

PB

=

AD

AB

=

AC

AP

，即

CD

3

=

AD

4

=

25 7

5

，
∴CD=

15

7

，AD=

20

7

，
∴PD=PA-AD=

15

7

，
∴PD=CD，
∴△PCD為等腰直角三角形，
∴α=45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．