Question

如圖，在銳角△ABC中，BA=BC，點(diǎn)O是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓交邊AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作⊙O的切線MN交BC于點(diǎn)N．
（1）當(dāng)OA=OB時(shí)，求證：MN⊥BC；
（2）分別判斷OA＜OB、OA＞OB時(shí)，上述結(jié)論是否成立，請(qǐng)選擇一種情況，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OM，則OM⊥MN，△OAM中，OA=OM，因此∠A=∠OMA=∠C，因此OM∥BC，故MN⊥BC；
（2）由（1）的證明過(guò)程可知：證MN⊥BC，與OA、OB的大小沒(méi)有關(guān)系，因此兩種情況都成立．
解答：（1）證明：如圖①，連接OM，則OM⊥MN；
∵在△OAM中，OA=OM，
∴∠A=∠OMA；
∵在△BAC中，BA=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠OMA=∠C，
∴OM∥BC，
∴MN⊥BC；

（2）解：當(dāng)OA＜OB時(shí)，成立；當(dāng)OA＞OB時(shí)，也成立．
以O(shè)A＜OB為例進(jìn)行說(shuō)明，如圖②，OA＜OB，連接OM；
∵在△OAM中，OA=OM，
∴∠A=∠OMA；
∵在△BAC中，BA=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠OMA=∠C，
∴OM∥BC，
∴MN⊥BC．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力．