Question

24、實(shí)踐與探索！
①過(guò)四邊形一邊上點(diǎn)P與另外兩個(gè)頂點(diǎn)連線可以把四邊形分成

3

個(gè)三角形；
②過(guò)五邊形一邊上點(diǎn)P與另外三個(gè)頂點(diǎn)連線可以把五邊形分成

4

個(gè)三角形；
③經(jīng)過(guò)上面的探究，你可以歸納出過(guò)n邊形一邊上點(diǎn)P與另外

n-2

個(gè)頂點(diǎn)連線可以把n邊形分成

n-1

個(gè)三角形（用含n的代數(shù)式表示）．
④你能否根據(jù)這樣劃分多邊形的方法來(lái)寫出n邊形的內(nèi)角和公式？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析：①②③在n邊形的邊上任意取一點(diǎn)，連接這點(diǎn)與各頂點(diǎn)的線段可以把n邊形分成（n-1）個(gè)三角形；
④欲證明多邊形的內(nèi)角和定理，可以把多邊形的內(nèi)角轉(zhuǎn)移到三角形中，利用（n-1）個(gè)三角形，內(nèi)角和為（n-1）×180°，n邊形的內(nèi)角和還要再減去P所在的一個(gè)平角，所以n邊形的內(nèi)角和為（n-2）×180°．

解答：解：①過(guò)四邊形一邊上點(diǎn)P與另外兩個(gè)頂點(diǎn)連線可以把四邊形分成4-1=3個(gè)三角形；
②過(guò)五邊形一邊上點(diǎn)P與另外三個(gè)頂點(diǎn)連線可以把五邊形分成5-1=4個(gè)三角形；
③經(jīng)過(guò)上面的探究，你可以歸納出過(guò)n邊形一邊上點(diǎn)P與另外（n-2）個(gè)頂點(diǎn)連線可以把n邊形分成 （n-2）個(gè)三角形（用含n的代數(shù)式表示）．
④在n邊形的任意一邊上任取一點(diǎn)P，連接P點(diǎn)與其它各頂點(diǎn)的線段可以把n邊形分成（n-1）個(gè)三角形，
這（n-1）個(gè)三角形的內(nèi)角和等于（n-1）•180°，
以P為公共頂點(diǎn)的（n-1）個(gè)角的和是180°，
所以n邊形的內(nèi)角和是（n-1）•180°-180°=（n-2）•180°．
故答案為：3；4；n-2，n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理的證明，解題關(guān)鍵是將多邊形的內(nèi)角和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中解決，在n邊形的任意一邊上任取一點(diǎn)P，連接P點(diǎn)與其它各頂點(diǎn)的線段可以把n邊形分成（n-1）個(gè)三角形．