Question

如圖，四邊形ABCD和四邊形A′B′C′O都是邊長為2cm的正方形，AC與BD交于點(diǎn)O，將正方形A′B′C′O繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其中陰影部分為兩正方形的重疊部分．
（1）當(dāng)點(diǎn)O、A、A′在同一直線上時(shí)（如圖①）陰影部分面積為

1cm²

．
（2）當(dāng)O A′⊥AB時(shí)（如圖②）陰影部分面積為

1cm²

．
（3）當(dāng)O A′與AB不垂直相交時(shí)（如圖③）請你猜想陰影部分的面積是多少？并證明你的結(jié)論．
（4）根據(jù)以上信息你能得到什么結(jié)論？

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD和四邊形A′B′C′O都是邊長為2cm的正方形，易求得OC與OB的長，繼而求得陰影部分面積；
（2）首先根據(jù)題意證得四邊形EOFC是正方形，則可求得陰影部分面積；
（3）首先證得△AOE≌△BOF，然后利用（1）的結(jié)論，即可求得答案；
（4）結(jié)論為：正方形A?B?C?O繞點(diǎn)O無論怎樣移動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積總等于一個(gè)正方形面積的

1

4

．

解答：解：（1）如圖：∵四邊形ABCD是正方形，
∴OC=OB=

1

2

BD，BD⊥AC，∠DAB=90°，
∵正方形ABCD的邊長為2cm
∴BD=

AB2+AD2

=2

2

（cm），
∴OC=OD=

2

cm，
∴S_陰影=S_△BOC=

1

2

×OB×OC=

1

2

×

2

×

2

=1（cm²）；

（2）∵四邊形ABCD和四邊形A′B′C′O都是邊長為2cm的正方形，
∴OA=OC，AB∥CD，BC=DC=2cm，∠BCD=90°，
∵O A′⊥AB，
∴OA′⊥CD，
∴∠CEO=∠EOC′=∠ECF=90°，
∴四邊形EOFC是矩形，
∴OE∥AD，OF∥AB，
∴OE：AD=OC：AC=OF：AB，
∴OE=

1

2

AD=1（cm），OF=

1

2

AB=1（cm），
∴OE=OF，
∴四邊形EOFC是正方形，
∴S_陰影=S_{正方形EOFC}=OE•OF=1（cm²）；

（3）1cm²．
證明：∵四邊形ABCD和四邊形A?B?C?O都是正方形，
∴OA=OB，∠OAE=∠OBF=45°，∠AOB=∠A?OC?=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
∴△AOE≌△BOF，
∴S_△AOE=S_△BOF，
∴S_陰影=S_△AOB=1cm^2_；

（4）正方形A?B?C?O繞點(diǎn)O無論怎樣移動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積總等于一個(gè)正方形面積的

1

4

（或正方形A?B?C?O繞點(diǎn)O無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，陰影部分的面積總等于1cm²）
故答案為：（1）1cm²；（2）1cm²．

點(diǎn)評：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意旋轉(zhuǎn)中的對應(yīng)關(guān)系．