如圖,已知在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上,且AE=2EB,CF=2FD,連接EF.
(1)寫(xiě)出與
FC
相等的向量
AE
AE
;
(2)填空
AD
+
EB
-
EF
=
AE
FC
AE
FC

(3)求作:
AD
-
FE
.(保留作圖痕跡,不要求寫(xiě)作法,請(qǐng)說(shuō)明哪個(gè)向量是所求作的向量)
分析:(1)根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得AB∥CD,AB=CD,然后求出FC=AE,再根據(jù)向量的定義解答;
(2)求出DF=BE,連接AF,根據(jù)向量的三角形法則可得
AD
+
EB
=
AF
,再根據(jù)-
EF
=
FE
,利用三角形法則求解即可;
(3)過(guò)點(diǎn)A作AG∥EF,取AG=EF,根據(jù)向量的三角形法則求解即可.
解答:解:(1)在?ABCD中,AB∥CD,AB=CD,
∵AE=2EB,CF=2FD,
∴AE=
2
1+2
AB=
2
3
AB,
CF=
2
1+2
CD=
2
3
CD,
∴與
FC
相等的向量是
AE


(2)如圖,連接AF,
∵DF=CD-FC=
1
3
CD,
BE=AB-AE=
1
3
AB,
EB
=
DF
,
AD
+
EB
=
AF
,
∵-
EF
=
FE
,
AF
-
EF
=
AF
+
FE
=
AE
,
又∵
AE
=
FC
,
AD
+
EB
-
EF
=
AE
(或
FC
);
故答案為:(1)
AE
;(2)
AE
FC
;

(3)如圖,
GD
即為所求作的
AD
-
FE
點(diǎn)評(píng):本題考查了平面向量,平行四邊形的性質(zhì),向量問(wèn)題熟練掌握平行四邊形法則與三角形法則是解題的關(guān)鍵,要注意向量要從方向與大小兩個(gè)方面考慮求解.
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(1)若點(diǎn)E、F、G、H是正方形ABCD四邊中點(diǎn),試求四邊形EFGH的面積;
(2)設(shè)AE=x,AH=y,請(qǐng)?zhí)接懏?dāng)x、y滿(mǎn)足什么條件時(shí),四邊形EFGH是矩形.(要求寫(xiě)出過(guò)程)

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①如圖(1)已知正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O,E是AC上一點(diǎn),過(guò)A作AG⊥EB,垂足為G,AG交BD于F,則OE=OF理由是:∵四邊開(kāi)ABCD是正方形,∴∠BOE=∠AOF=,BO=AO.又∵AG⊥EB,∠1+∠3==∠2+∠3∴∠1=∠2,∴Rt△BOE≌Rt△AOF解答此題后某同學(xué)產(chǎn)生了如下猜想:對(duì)上述命題,若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,AG⊥EB,AG交EB的延長(zhǎng)線(xiàn)于G,AG的延長(zhǎng)線(xiàn)交DB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F,其它條件不變,如圖,則仍有OE=OF.問(wèn)猜想所得的結(jié)論是否成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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