Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，，，以AB為直徑作半⊙P交y軸于M，以AB為一邊作正方形ABCD.

（1）求C、M兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）連結(jié)CM，試判斷直線(xiàn)CM是否與⊙P相切？說(shuō)明你的理由；
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使周長(zhǎng)最小？若存在，求出Q坐標(biāo)及最小周長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）C（8，10），M（0，4）；（2）相切；（3），

試題分析：（1）因?yàn)锳BCD為正方形，且邊長(zhǎng)為10，所以易得C點(diǎn)坐標(biāo)；連接PM，根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)和半徑求OM可得M點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)CM、PM、PC的長(zhǎng)判定△PCM為直角三角形，得∠PMC=90°，從而判斷相切；
（3）因CM長(zhǎng)度固定，要使△QMC周長(zhǎng)最小，只需PM+PC最小．作M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，連接CM′，交x軸于Q點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性及兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短說(shuō)明存在Q點(diǎn)．
（1）∵A（﹣2，0），B（8，0），
∴AB=10，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC=AB=10，
∴C（8，10），
連接MP，PC，

在Rt△OPM中，OP=3，MP=5，
∴OM=4，即M（0，4）；
（2）在Rt△CBP中，CB=10，BP=5，
∴CP²=125．
在Rt△CEM中，EM=6，CE=8，
∴CM²=100，
∵100+25=125，
∴在△CMP中，CM²+MP²=CP²，
∴∠CMP=90°．
即：PM⊥CM．
∴CM與⊙P相切．
（3）△QMC中，CM恒等于10，要使△QMC周長(zhǎng)最小，即要使MQ+QC最小．故作M關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M’，連CM’交x軸于點(diǎn)Q，連MQ，此時(shí)，△QMC周長(zhǎng)最�。�

∵C（8，10），M'（0，﹣4），
設(shè)直線(xiàn)CM'：y=kx+b（k≠0）
∴，解得 
∴．
∴Q（，0）
∵x軸垂直平分MM’，
∴QM=QM'，
∴MQ+QC=M'Q+QC=M'C．
在△CEM'中，CE=8，EM'=14
∴
∴△QMC周長(zhǎng)最小值為．
∴存在符合題意的點(diǎn)Q，且
此時(shí)△QMC周長(zhǎng)最小值為．
點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟記要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．同時(shí)熟練掌握兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短在求三角形周長(zhǎng)最短中的應(yīng)用。