Question

如圖，已知⊙O的半徑為6 cm，射線PM經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，OP=10 cm，射線PN與⊙O相切于點(diǎn)Q．A、B兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，點(diǎn)A以5 cm/s的速度沿射線PM方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以4 cm/s的速度沿射線PN方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s．當(dāng)t=_______時(shí)，直線AB與⊙O相切．

Answer 1

0.5s或3.5s.

【解析】

試題分析：首先根據(jù)PN與⊙O相切于點(diǎn)Q，OQ⊥PN，即∠OQP=90°，在直角△OPQ中根據(jù)勾股定理就可以求出PQ的值；再過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為C．直線AB與⊙O相切，則△PAB∽△POQ，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以求出t的值．

試題解析：連接OQ，

∵PN與⊙O相切于點(diǎn)Q，

∴OQ⊥PN，

即∠OQP=90°，

∵OP=10，OQ=6，

∴PQ=8（cm），

過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為C，

∵點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)速度為5cm/s，點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)速度為4cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，

∴PA=5t，PB=4t，

∵PO=10，PQ=8，

∴

∵∠P=∠P，

∴△PAB∽△POQ，

∴∠PBA=∠PQO=90°，

∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，

∴四邊形OCBQ為矩形．

∴BQ=OC．

∵⊙O的半徑為6，

∴BQ=OC=6時(shí)，直線AB與⊙O相切．

①當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到如圖1所示的位置，

BQ=PQ-PB=8-4t，

∵BQ=6，

∴8-4t=6，

∴t=0.5（s）．

②當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到如圖2所示的位置，

BQ=PB-PQ=4t-8，

∵BQ=6，

∴4t-8=6，

∴t=3.5（s）．

∴當(dāng)t為0.5s或3.5s時(shí)直線AB與⊙O相切．

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)．