Question

如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10cm，∠ABC=30°，以BC所在直線為x軸，以BC邊上的高所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求直線AC的解析式；
（2）有一動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)B開(kāi)始沿x軸向其正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)為t秒（單位：s）．①當(dāng)t為何值時(shí)，△ABP是直角三角形；②現(xiàn)有另一點(diǎn)Q與點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)B開(kāi)始，以1cm/s的速度從點(diǎn)B開(kāi)始沿折線BAC運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．試寫(xiě)出△BPQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出點(diǎn)A及點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可確定直線AC的解析式；
（2）分兩段討論，①點(diǎn)Q在BA段，②點(diǎn)Q在AC段，依次確定BP、QD的長(zhǎng)度，繼而可確定△BPQ的面積．

解答：解：（1）∵AB=AC=10cm，∠ABC=30°，
∴OA=5cm，BO=CO=5

3

cm，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，5），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5

3

，0），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可得：

5 3 k+b=0 b=5

，
解得：

k=- 3 3 b=5

故直線AC的解析式為：y=-

3

3

x+5；
（2）

①當(dāng)∠APB=90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，此時(shí)BP=5

3

，
即可得t=5

3

；
當(dāng)∠BAP=90°時(shí)，點(diǎn)P位于P₁處，
此時(shí)BP₁=

AB

cos∠ABO

=

20 3

3

，
即可得t=

20 3

3

．
綜上可得當(dāng)t=5

3

或

20 3

3

時(shí)，△ABP為直角三角形．
②當(dāng)點(diǎn)Q位于AB段時(shí)，0＜t＜10，

過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥OB于點(diǎn)D，BQ=t，BP=t，∠ABO=30°，
則QD=

1

2

BQ=

1

2

t
此時(shí)S_△BPQ=

1

2

BP×QD=

1

2

t×

1

2

t=

1

4

t²；
當(dāng)點(diǎn)Q位于AC段時(shí)，10≤t＜20，

此時(shí)BP=t，CQ=20-t，∠ACO=30°，
則QD=

1

2

CQ=

1

2

（20-t）=10-

1

2

t，
S_△BPQ=

1

2

BP×QD=

1

2

t×（10-

1

2

t）=-

1

4

t²+5t．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解直角三角形及三角形的面積，難點(diǎn)在第二問(wèn)，注意分段討論，求出△BPQ底邊BP上的高，難度一般．