Question

已知拋物線y=x²+mx-

3

4

m²（m＞0）．
（1）求證：該拋物線與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且AB=4，求m的值；
（3）在條件（2）的前提下，y軸上是否存在點(diǎn)C，使得△ABC為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）令y=0，利用根的判別式證明即可；
（2）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程求出A、B的坐標(biāo)，然后表示出AB，即可得到m的值；
（3）判斷出△AOC和△COB相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OC的長(zhǎng)，再分點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸和正半軸兩種情況寫出即可．

解答：（1）證明：令y=0，則x²+mx-

3

4

m²=0，
△=b²-4ac=m²-4×1×（-

3

4

m²）=2m²，
∵m＞0，
∴△＞0，
∴該拋物線與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）解：令y=0，則x²+mx-

3

4

m²=0，
解得x₁=-

3

2

m，x₂=

m

2

，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A（-

3

2

m，0），B（

m

2

，0），
∴AB=

m

2

-（-

3

2

m）=2m=4，
解得m=2；

（3）存在．
理由如下：由（2）得，m=2，點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），
∵△ABC為直角三角形，點(diǎn)C在y軸上，
∴∠ACB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴

OA

OC

=

OC

OB

，
即

3

OC

=

OC

1

，
解得OC=

3

，
點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-

3

），
點(diǎn)C在y軸正半軸時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，

3

），
綜上所述，y軸上有點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，-

3

），（0，

3

），使得△ABC為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了根的判別式，拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合題，但難度不大，（3）點(diǎn)C的坐標(biāo)要分情況討論．