已知a,b是互質(zhì)的正整數(shù),且a+b,3a,a+4b恰為一直角三角形的三條邊長,則a+b的值等于________

8或24
分析:a、b均為正數(shù),則a+4b>a+b,所以只有a+4b和3a有可能成為斜邊,分類討論(1)a+4b為斜邊;(2)3a為斜邊.
解答:在直角三角形中,(1)若a+4b為斜邊,則(a+4b)2=(a+b)2+9a2
∴9a2-6ab-15b2=0,(a+b)(3a-5b)=0
∵a+b≠0,且a,b互質(zhì),
∴a=5,b=3.
三條邊長分別為8,15,17,a+b=8.
(2)若3a為斜邊,則9a2=(a+b)2+(a+4b)2,
∴7a2-10ab-17b2=0,
∴(a+b)(7a-17b)=0
.∵a+b≠0,
∴7a=17b,a,b互質(zhì),
∴a=17,b=7.三條邊長分別為24,45,51,a+b=24.綜上得a+b=8.或a+b=24.
點(diǎn)評(píng):本題考查了分類討論思想,考查了直角三角形中勾股定理的應(yīng)用,本題中討論a+4b是斜邊或3a是斜邊是解題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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8或24
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