Question

已知：如圖1，直線(xiàn)y=

1

3

x與雙曲線(xiàn)y=

k

x

交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，m）．
（1）求雙曲線(xiàn)y=

k

x

的解析式；
（2）點(diǎn)C（n，4）在雙曲線(xiàn)y=

k

x

上，求△AOC的面積；
（3）過(guò)原點(diǎn)O作另一條直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)y=

k

x

交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第一象限．若由點(diǎn)A，P，B，Q為頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為20，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）首先利用正比例函數(shù)解析式計(jì)算出A點(diǎn)坐標(biāo)，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=

k

x

，可得反比例函數(shù)解析式；
（2）分別過(guò)點(diǎn)C，A作CD⊥x軸，AE⊥x軸，再利用反比例函數(shù)解析式計(jì)算出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)解析式計(jì)算出S_△CDO=S_△AEO=

1

2

|k|，再用S_△AOC=S_{四邊形COEA}-S_△AOE=S_{四邊形COEA}-S_△COD=S_梯形CDEA，即可算出答案；
（3）由于雙曲線(xiàn)是關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱(chēng)圖形，因此以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形應(yīng)該是平行四邊形，那么△POA的面積就應(yīng)該是四邊形面積的四分之一即為5．可根據(jù)雙曲線(xiàn)的解析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后參照（2）的三角形面積的求法表示出△POA的面積，由于△POA的面積為5，由此可得出關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（6，m）在直線(xiàn)y=

1

3

x上，
∴m=

1

3

×6=2，
∴A（6，2），
∵點(diǎn)A（6，2）在雙曲線(xiàn)y=

k

x

上，
∴2=

k

6

，
解得：k=12．
故雙曲線(xiàn)的解析式為y=

12

x

；

（2）分別過(guò)點(diǎn)C，A作CD⊥x軸，AE⊥x軸，
垂足分別為點(diǎn)D，E．（如圖1）
∵點(diǎn)C（n，4）在雙曲線(xiàn)y=

12

x

上，
∴4=

12

n

，
解得：n=3，
即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），
∵點(diǎn)A，C都在雙曲線(xiàn)y=

12

x

上，
∴S△AOE=S△COD=

1

2

×12=6．
∴S_△AOC=S_{四邊形COEA}-S_△AOE=S_{四邊形COEA}-S_△COD=S_梯形CDEA，
∴S_△AOC=

1

2

(CD+AE)•DE=

1

2

×(4+2)×(6-3)=9；

（3））∵反比例函數(shù)圖象是關(guān)于原點(diǎn)O的中心對(duì)稱(chēng)圖形，
∴OP=OQ，OA=OB，
∴四邊形APBQ是平行四邊形，
∴S_△POA=

1

4

S_{平行四邊形APBQ}=

1

4

×20=5，
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＞0且m≠6），
得P（m，

12

m

），
過(guò)點(diǎn)P、A分別做x軸的垂線(xiàn)，垂足為E、F，
∵點(diǎn)P、A在雙曲線(xiàn)上，
∴S_△POE=S_△AOF=6，
若0＜m＜6，如圖，
∵S_△POE+S_梯形PEFA=S_△POA+S_△AOF，
∴S_梯形PEFA=S_△POA=5．
∴

1

2

（2+

12

m

）•（6-m）=5．
∴m=4，m=-9（舍去），
∴P（4，3）；
若m＞6，如圖，
∵S_△AOF+S_梯形AFEP=S_△AOP+S_△POE，
∴S_梯形PEFA=S_△POA=5．
∴

1

2

（2+

12

m

）•（m-6）=5，
解得m=9，m=-5（舍去），
∴P（9，

4

3

）．
故點(diǎn)P的坐標(biāo)是：P（4，3）或P(9，

4

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例解析式的確定和性質(zhì)、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力．難點(diǎn)是不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差來(lái)求解．