Question

如圖，已知正方形紙片ABCD的邊長為8，⊙0的半徑為2，圓心在正方形的中心上，將紙片按圖示方式折疊，使E A′恰好與⊙0相切于點A′（△EFA′與⊙0除切點外無重疊部分），延長FA′交CD邊于點G，則A′G的長是________．

Answer 1

分析：連AC，過F作FH⊥DC于H，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠EA′F=∠EAF=90°，F(xiàn)A′=FA，由E A′恰好與⊙0相切于點A′，根據(jù)切線的性質(zhì)得OA′⊥EA′，則點F、A′、O共線，即FG過圓心O；再根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AC經(jīng)過點O，且OA=OC，易證得△OAF≌△OCG，則OF=OG，AF=CG，易得FA′=GN，設(shè)FA=x，DC=8，ON=2，則FA′=DH=CG=GN=x，F(xiàn)G=FA′+A′N+NG=2x+4，HG=DC-DH-CG=8-2x，在Rt△FGH中，利用勾股定理得到FG²=FH²+HG²，即（2x+4）²=8²+（8-2x）²，解出x=，則可計算出A′G=A′N+NG=4+=．
解答：連AC，過F作FH⊥DC于H，如圖．
∵△AEF沿EF折疊得到△A′EF，
∴∠EA′F=∠EAF=90°，F(xiàn)A′=FA，
∵E A′恰好與⊙0相切于點A′，
∴OA′⊥EA′，
∴點F、A′、O共線，即FG過圓心O，
又∵點O為正方形的中心，
∴AC經(jīng)過點O，
∴OA=OC，
易證得△OAF≌△OCG，
∴OF=OG，AF=CG，
∵OA′=ON，
∴FA′=GN，
設(shè)FA=x，DC=8，ON=2，則FA′=DH=CG=GN=x，F(xiàn)G=FA′+A′N+NG=2x+4，HG=DC-DH-CG=8-2x，
在Rt△FGH中，F(xiàn)G²=FH²+HG²，
∴（2x+4）²=8²+（8-2x）²，解得x=，
∴A′G=A′N+NG=4+=．
故答案為．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了折疊和正方形的性質(zhì)以及勾股定理．