Question

已知如圖，P為△ABC內(nèi)任意一點，當(dāng)P在什么位置時PA+PB+PC的值最��？

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：將△APC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)60°到△CP′A′的位置，連接PP′．通過旋轉(zhuǎn)，使B、P、P′、A′四點共線，這樣AP+BP+CP的和最小．

解答：解：如圖，將△APC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)60°到△CP′A′的位置，連接PP′．
則△CPA≌△CP′A′，∠PCP′=60°，
∴CP=CP′，
∴△CPP′為等邊三角形，
∴∠CPP′=∠CP′P=60°，PP′=CP，A′P′=AP，
則AP+BP+CP=AP+PP′+P′A′≥BA′，
顯然當(dāng)A、P、P′、C′四點在同一直線上時，AP+BP+CP有最小值，
此時，∠BPC=120°，∠CP′A′=120°，
于是∠APC=∠CP′A′=120°，∠APB=360°-2×120°=120°，
∴當(dāng)∠APC=∠BPC=∠APB=120°時，AP+BP+CP的和最小．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練應(yīng)用性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．