Question

【題目】已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，BC在x軸上，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，AB與y軸的正半軸交與點(diǎn)E，已知點(diǎn)B（﹣1，0）．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)： ， 點(diǎn)E的坐標(biāo)：；
（2）若二次函數(shù)y=﹣ x2+bx+c過點(diǎn)A、E，求此二次函數(shù)的解析式；
（3）P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與點(diǎn)A、C不重合）連結(jié)PB、PD，設(shè)l是△PBD的周長(zhǎng)，當(dāng)l取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及l(fā)的最小值并判斷此時(shí)點(diǎn)P是否在（2）中所求的拋物線上，請(qǐng)充分說明你的判斷理由．

Answer 1

【答案】
（1）（1，2 ）；（0， ）
（2）

解：因?yàn)閽佄锞�y=﹣ x2+bx+c過點(diǎn)A、E，

由待定系數(shù)法得：c= ，b= ，

拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+

（3）

解：作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D'，

連接BD'交AC于點(diǎn)P，則PB與PD的和取最小值，

即△PBD的周長(zhǎng)L取最小值，如圖2

．

∵D、D′關(guān)于直線AC對(duì)稱，

∴DD′⊥AC，即∠D′DC=30°，

DF= ，DD'=2 ，

求得點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（4， ），

直線BD'的解析式為：y= x+ ，

直線AC的解析式為：y=﹣ x+3 ，

求直線BD'與AC的交點(diǎn)可，得

點(diǎn)P的坐標(biāo)（ ， ）．

此時(shí)BD'= = =2 ，

所以△PBD的最小周長(zhǎng)L為2 +2，

把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y=﹣ + x+ 成立，

所以此時(shí)點(diǎn)P在拋物線上．

【解析】解：（1）連接AD，如圖1
，
∵△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，又B的坐標(biāo)為（﹣1，0），BC在x軸上，A在第一象限，
∴點(diǎn)C在x軸的正半軸上，
∴C的坐標(biāo)為（3，0），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得：D的坐標(biāo)為（1，0）．
顯然AD⊥BC且AD= BD=2 ，
∴A的坐標(biāo)是（1，2 ）．
OE= AD，得E（0， ）；
（1）△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，則BC=4，而點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，BD=2，點(diǎn)B（﹣1，0），則OD=1，就可以求出A的橫坐標(biāo)，等邊三角形的高線長(zhǎng)，就是A的縱坐標(biāo)．在直角三角形OBE中，根據(jù)三角函數(shù)可以求出OE的長(zhǎng)，即得到E點(diǎn)的縱坐標(biāo)．（2）已經(jīng)求出A，E的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)的解析式．（3）先作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接BD'交AC于點(diǎn)P，則PB與PD的和取最小值，即△PBD的周長(zhǎng)L取最小值．根據(jù)三角函數(shù)求的D′的坐標(biāo)，再求出直線BD′的解析式，以及直線AC的解析式，兩直線的交點(diǎn)就是P的坐標(biāo)．把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式，就可以判斷是否在函數(shù)的圖象上．