Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x²+（m+1）x+3m與直線y=-x+3交于A、C兩點；點P從原點O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OC向終點C運動，過P作x軸的垂線，交拋物線于D，交AC于E，設點P運動的時間為x（秒），四邊形AOCD的面積為S．
（1）求點A、C的坐標，并求此拋物線的解析式；
（2）求S關于x的函數(shù)關系式，并求出S的最大值；
（3）探究：是否存在點P，使直線AC把△PCD分成面積之比為2：1的兩部分？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）根據(jù)一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x+3分別令x=0，則y=3；
令y=0則x=3，
故A（0，3），C（3，0），
把A（0，3）代入拋物線的解析式
得3m=3，m=1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）∵m=1
∴y=-x²+2x+3，
∴AO=3，
點D（x，-x²+2x+3），連接OD，
∵OC=3，
∴S=S_△AOD+S_△DOC=×3x+×（-x²+2x+3）=-x²+x+，
∴S與x的函數(shù)關系式S=-x²+x+（0＜x＜3），
當x=-=符合（0＜x＜3），
S_最大值===，

（3）∵OA=OC=3，
∴△AOC為等腰Rt△，
∴∠ECP=45°，
∴EP=PC=3-x，
假設存在點P，使AC把△PCD分成面積之比為2：1的兩部分，分兩種情況討論：
（�。┊敗鰿DE與△CEP的面積之比為2：1時，DE=2EP，
∴DP=3EP，
即-x²+2x+3=3（-x+3）
整理得：x²-5x+6=0，
解得；x₁=2x₂=3（不合題意，舍去），
此時點P的坐標是（2，0）；
（ⅱ）當△CEP與△CDE的面積之比為2：1時，DE=EP，
∴DP=EP，
即-x²+2x+3=（-x+3），
整理得：2x²-7x+3=0，
解得：x₃=，x₄=3（不合題意，舍去），
此時點P的坐標是（，0），
綜上所述，使直線AC把△PCD分成面積之比為2：1兩部分的點P存在，點P的坐標是（2，0）或（，0）．
分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x+3分別令x=0，y=0即可求出A，B的坐標．把A或B點的坐標代入拋物線的解析式即可求出m的值，從而求出其解析式．
（2）根據(jù)（1）中所求拋物線的解析式設出D點坐標，由A，C，D三點的坐標即可求出S關于x的函數(shù)關系式，根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標公式即可求出S的最大值．
（3）因為不明確△CDE與△CPE面積的大小，故應分兩種情況討論：
①當△CDE與△CEP的面積之比為2：1時，因為兩三角形的高相同，所以DE：EP=2：1，即DP=3EP，設P點坐標為（x，0），則D點坐標為（x，-x²+2x+3），由于OA=OB，所以PC=EP，根據(jù)P，D兩點的坐標即可求出DP與EP的函數(shù)關系式，進而求出P點坐標．
②當△CEP與△CDE的面積之比為2：1時，則DE=2EP，同①可求出DP與EP的函數(shù)關系式，進而求出P點坐標．
點評：此題是典型的動點問題，把面積的最值問題問題轉化成二次函數(shù)最值的問題解答．
（3）是一道結論開放性題目，考查了同學們的發(fā)散思維能力，解答時要進行分類討論．