平面上有n個(gè)點(diǎn)（n≥3，n為自然數(shù)），其中任何三點(diǎn)不在同一直線上．證明：一定存在三點(diǎn)，以這三點(diǎn)作為頂點(diǎn)的三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不大于
180°n
．
分析：題目中的n個(gè)點(diǎn)中不妨設(shè)這兩個(gè)點(diǎn)為A1、A2，則可以分當(dāng)∠A2A1An≥180°-
2×180°
n
和當(dāng)∠A2A1An＜180°-
2×180°
n
兩種情況進(jìn)行討論．根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理就可以證出．
解答：精英家教網(wǎng)解：如圖，在這n個(gè)點(diǎn)中，必存在這樣的兩點(diǎn)，使其它各點(diǎn)均在這兩點(diǎn)所在直線同側(cè)，設(shè)這兩個(gè)點(diǎn)為A1、A2，其它各點(diǎn)按逆時(shí)針方向設(shè)為A3、A4、An．

（1）當(dāng)∠A2A1An≥180°-
2×180°
n
時(shí)，連接A2An．
在△A1A2An中，∠A2A1An+∠A1AnA2=180-∠A2A1An≤
2×180°
n

則∠A2A1An、∠A1AnA2中必有一個(gè)角不大于
180°
n
；

（2）當(dāng)∠A2A1An＜180°-
2×180°
n
時(shí)，∠A2A1A3+∠A3A1A4+∠A4A1A5+…+∠An-1A1An＜180°-
2×180°
n
，
則在這n-2個(gè)角中，必有一個(gè)角不大于
180°
n

設(shè)∠AiA1Ai-1≤
180°
n
，則△AiA1Ai-1即為所求三角形．
點(diǎn)評：本題的難度較大，分情況討論是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

18、平面上有5個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)都不在同一條直線上，則這些點(diǎn)共可組成
10
個(gè)不同的三角形．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

閱讀下列材料并填空．
平面上有n個(gè)點(diǎn)（n≥2）且任意三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，過其中的每兩點(diǎn)畫直線，一共能作出多少條不同的直線？
①分析：當(dāng)僅有兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成1條直線；當(dāng)有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成3條直線；當(dāng)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成6條直線；當(dāng)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成10條直線…
②歸納：考察點(diǎn)的個(gè)數(shù)和可連成直線的條數(shù)Sn發(fā)現(xiàn)：如下表
點(diǎn)的個(gè)數(shù) 可作出直線條數(shù)
2 1=S2=
2×1
2
3 3=S3=
3×2
2
4 6=S4=
4×3
2
5 10=S5=
5×4
2
… …
n Sn=
n(n-1)
2
③推理：平面上有n個(gè)點(diǎn)，兩點(diǎn)確定一條直線．取第一個(gè)點(diǎn)A有n種取法，取第二個(gè)點(diǎn)B有（n-1）種取法，所以一共可連成n（n-1）條直線，但AB與BA是同一條直線，故應(yīng)除以2；即Sn=
n(n-1)
2
④結(jié)論：Sn=
n(n-1)
2
試探究以下幾個(gè)問題：平面上有n個(gè)點(diǎn)（n≥3），任意三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，過任意三個(gè)點(diǎn)作三角形，一共能作出多少不同的三角形？
（1）分析：
當(dāng)僅有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出
 
個(gè)三角形；
當(dāng)僅有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出
 
個(gè)三角形；
當(dāng)僅有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出
 
個(gè)三角形；
…
（2）歸納：考察點(diǎn)的個(gè)數(shù)n和可作出的三角形的個(gè)數(shù)Sn，發(fā)現(xiàn)：（填下表）
點(diǎn)的個(gè)數(shù) 可連成三角形個(gè)數(shù)
3
4
5
…
n
（3）推理：
（4）結(jié)論：

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有下列4個(gè)命題中，真命題的序號是（　�。�
①平面上有5個(gè)點(diǎn)（沒有任何三個(gè)點(diǎn)在同一直線上），可以確定10條直線．
②若直角三角形的兩條邊長恰為方程x2-7x+12=0的兩根，那么它的面積一定是6．
③點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)x，y滿足x2+y2+2x-2y+2=0，則點(diǎn)P在正比例函數(shù)y=-x的圖象上．
④若實(shí)數(shù)b、c滿足1+b+c＞0，1-b+c＜0，則關(guān)于x的方程x2+bx+c=0一定有一個(gè)實(shí)數(shù)根x0滿足-1＜x0＜1．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

閱讀以下材料并填空：平面上有n個(gè)點(diǎn)（n≥2）且任意三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上，過這些點(diǎn)作直線一共能作出多少條不同的直線？
分析：當(dāng)僅有兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成1條直線；當(dāng)有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成3條直線；當(dāng)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成6條直線，當(dāng)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)可連成10條直線…
推導(dǎo)：平面上有n個(gè)點(diǎn)，因?yàn)閮牲c(diǎn)可確定一條直線，所以每個(gè)點(diǎn)都可與除本身之外的其余（n-1）個(gè)點(diǎn)確定一條直線，即共有
n（n-1）條直線．但因AB與BA是同一條直線，故每一條直線都數(shù)了2遍，所以直線的實(shí)際總條數(shù)為
n(n-1)
2
．
試結(jié)合以上信息，探究以下問題：
平面上有n（n≥3）個(gè)點(diǎn)，任意3個(gè)點(diǎn)不在同一直線上，過任意3點(diǎn)作三角形，一共能作出多少個(gè)不同的三角形？
分析：考察點(diǎn)的個(gè)數(shù)n和可作出的三角形的個(gè)數(shù) sn，發(fā)現(xiàn)：（填下表）
點(diǎn)的個(gè)數(shù) 可連成的三角形的個(gè)數(shù)
3
1
1
4
4
4
5
10
10
… …
n
n(n-1)(n-2)
6
n(n-1)(n-2)
6
推導(dǎo)：
平面上有n個(gè)點(diǎn)，過不在同一直線上的三點(diǎn)可以確定1個(gè)三角形，取第一個(gè)點(diǎn)A有n種取法，取第二個(gè)點(diǎn)B有（n-1）種取法．取第三個(gè)點(diǎn)C有（n-2）種取法，但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一個(gè)三角形，故應(yīng)除以6，即Sn=
n(n-1)(n-2)
6
．
平面上有n個(gè)點(diǎn)，過不在同一直線上的三點(diǎn)可以確定1個(gè)三角形，取第一個(gè)點(diǎn)A有n種取法，取第二個(gè)點(diǎn)B有（n-1）種取法．取第三個(gè)點(diǎn)C有（n-2）種取法，但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一個(gè)三角形，故應(yīng)除以6，即Sn=
n(n-1)(n-2)
6
．
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

平面上有4個(gè)點(diǎn)，其中任意三個(gè)點(diǎn)作成的三角形面積都小于1，試證明：存在一個(gè)面積小于4的三角形包含這4個(gè)點(diǎn)．

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