Question

如圖1、2，已知拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過點(diǎn)B（-1，0）、C（3，0），交y軸于點(diǎn)A．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）如圖1，若M（0，1），過點(diǎn)A的直線與x軸交于點(diǎn)D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF與線段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH從點(diǎn)D開始，沿射線DA方向勻速運(yùn)動，運(yùn)動的速度為1個(gè)長度單位/秒，在運(yùn)動過程中腰FG與直線AD始終重合，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．當(dāng)t為何值時(shí)，以M、O、H、E為頂點(diǎn)的四邊形是特殊的平行四邊形；
（3）如圖2，拋物線頂點(diǎn)為K，KI⊥x軸于I點(diǎn)，一塊三角板直角頂點(diǎn)P在線段KI上滑動，且一直角邊過A點(diǎn)，另一直角邊與x軸交于Q（m，0），請求出實(shí)數(shù)m的變化范圍，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于a、b的方程組

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，通過解該方程組可以求得它們的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）當(dāng)直角梯形EFGH運(yùn)動到E′F′G′H′時(shí)，過點(diǎn)F′作F′N⊥x軸于點(diǎn)N，延長E′H’交x軸于點(diǎn)P．根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形E′H′OM是平行四邊形，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得△F′N D∽△AOD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

F′N

AO

=

ND

OD

=

F′D

AD

．再分平行四邊形EHOM是矩形，平行四邊形E′H′OM是菱形，求得
t的值；
（3）過A作AR⊥KI于R點(diǎn)，分當(dāng)Q在KI左側(cè)時(shí)，當(dāng)Q在KI右側(cè)時(shí)，兩種情況討論可得實(shí)數(shù)m的變化范圍．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過點(diǎn)B（-1，0）、C（3，0），
∴

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得

a=-1 b=2

．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．

（2）當(dāng)直角梯形EFGH運(yùn)動到E′F′G′H′時(shí)，過點(diǎn)F′作F′N⊥x軸于點(diǎn)N，延長E′H’交x軸于點(diǎn)P．
∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)A是拋物線與y軸的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3）．
∵OA=3，OD=4，
∴AD=5．
∵E′H′∥OM，E′H′=OM=1，
∴四邊形E′H′OM是平行四邊形（當(dāng)E′H′不與y軸重合時(shí)）．
∵F′N∥y軸，N G′∥x軸，
∴△F′N D∽△AOD．
∴

F′N

AO

=

ND

OD

=

F′D

AD

．
∵直角梯形E′F′G′H′是直角梯形EFGH沿射線DA方向平移得到的，
∴F′D=t，
∴

F′N

3

=

ND

4

=

t

5

．
∴F′N=

3t

5

，ND=

4t

5

．
∵E′F′=PN=1，
∴OP=OD-PN-ND=4-1-

4t

5

=3-

4t

5

．
∵E′P=F′N=

3t

5

，E′H′=1，
∴H′P=

3t

5

-1．
若平行四邊形E′H′OM是矩形，則∠MO H′=90°，此時(shí)H′G′與x軸重合．
∵F′D=t，
∴F′N=

3t

5

=1，即t=

5

3

．
即當(dāng)t=

5

3

秒時(shí)，平行四邊形EHOM是矩形．
若平行四邊形E′H′OM是菱形，則O H′=1．
在Rt△H′OP中，OP²+H′P²=OH′²，即(3-

4t

5

)2+(

3t

5

-1)2=12
得t²-6t+9=0，解得t₁=t₂=3．
即當(dāng)t=3秒時(shí)，平行四邊形EHOM是菱形．
綜上所述，當(dāng)t=

5

3

秒時(shí)，平行四邊形EHOM是矩形，當(dāng)t=3秒時(shí)，平行四邊形EHOM是菱形．

（3）過A作AR⊥KI于R點(diǎn)，則AR=KR=1．
當(dāng)Q在KI左側(cè)時(shí)，△ARP∽△PIQ．
設(shè)PI=n，則RP=3-n，
∴

1-m

3-n

=

n

1

，即n²-3n-m+1=0，
∵關(guān)于n的方程有解，△=（-3）²-4（-m+1）≥0，
得m≥-

5

4

；
當(dāng)Q在KI右側(cè)時(shí)，
Rt△APQ中，AR=RK=1，∠AKI=45°可得OQ=5．即P為點(diǎn)K時(shí)，
∴m≤5．
綜上所述，m的變化范圍為：-

5

4

≤m≤5．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形和菱形的判定，平行線的性質(zhì)，分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大．