Question

已知正方形ABCD．如圖1，E是AD上一點(diǎn)，過A作BE的垂線，交BE于點(diǎn)O，交CD于點(diǎn)H，通過證明△ABE≌△ADH，可得：BE=AH；
（1）如圖2，E是AD上一點(diǎn)，過BE上一點(diǎn)O作BE的垂線，交AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，猜想BE與GH的數(shù)量關(guān)系為______；
（2）如圖3，過正方形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，交AB、CD于點(diǎn)G、H，猜想EF與GH的數(shù)量關(guān)系為______；
（3）當(dāng)點(diǎn)O在正方形ABCD的邊上或外部時，過點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線，被正方形相對的兩邊（或它們的延長線）截得的兩條線段還相等嗎？其中一種情形如圖4所示，過正方形ABCD外一點(diǎn)O作互相垂直的兩條直線m、n，m與AD、BC的延長線分別交于點(diǎn)E、F，n與AB、DC的延長線分別交于點(diǎn)G、H，試就該圖形對你的結(jié)論加以證明．

Answer 1

解：（1）BE=GH；
（2）EF=GH；
（3）BE=GH．
證明：圖3中，作EM⊥BC，GN⊥CD分別于M，N．
則EM=AB，GN=BC，
∴EM=GN，
∵∠FEM+∠GKE=∠GKE+∠NGH=90°，
∴∠FEM=∠NGH，
又∵∠GNH=∠EMF=90°，
∴△EMF≌△GNH，
∴GH=EF；
在圖4中，
∵BC=GN，EM=DC，
又∵BC=DC，
∴GN=EM．
∵在直角△GMB和直角△OMF中，∠GBC=∠HOF=90°，∠BMG=∠OMF，
∴∠BGC=∠CFO，
又∵AB∥DC，
∴∠BGC=∠GHN，
∴∠GHN=∠CFE，
又∵在直角△GHN和直角△EFM中，GN=EM，
∴△GHN≌△EFM，
∴GH=EF．
分析：（1）（2）根據(jù)圖形，即可通過觀察，測量并且證明得到：BE=GH；
（2）圖3中，作EM⊥BC于M，GN⊥CD于N，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可以證得：△EMF≌△GNH，即可證得：GH=EF，在圖4中同理可以證得．
點(diǎn)評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，把證明線段相等的問題轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的問題，正確構(gòu)造三角形是解題的關(guān)鍵．