Question

已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E、F，
（1）當(dāng)∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE=CF時（如圖1），試猜想AE，CF，EF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請將三條線段分別填入后面橫線中：______+______=______（不需證明）
（2）當(dāng)∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上問的結(jié)論分別是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，那么這三條線段又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

（1）解：如圖1，AE+CF=EF，
理由：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，
∴AE=BE，CF=BF；
∵∠MBN=60°，BE=BF，
∴△BEF為等邊三角形；
∴AE+CF=BE+BF=BE=EF；
故答案為：AE，CF，EF；

（2）如圖2，（1）中結(jié)論成立
證明：延長FC到H，使CH=AE，連接BH，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠BCH=90°，
∵在△BCH和△BAE中
，
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BH=BE，∠CBH=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE+∠CBF=120°-60°=60°，
∴∠HBC+∠CBF=60°，
∴∠HBF=60°=∠MBN，
在△HBF和△EBF中
∵，
∴△HBF≌△EBF（SAS），
∴HF=EF，
∵HF=HC+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．
圖3中的結(jié)論不成立，線段AE、CF，EF的數(shù)量關(guān)系是AE=EF+CF，
證明：在AE上截取AQ=CF，連接BQ，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠BCF=90°，
在△BCF和△BAQ中
，
∴△BCF≌△BAQ（SAS），
∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，
∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE，
∴∠CBE+∠ABQ=60°，
∵∠ABC=120°，
∴∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN，
在△FBE和△QBE中
，
∴△FBE≌△QBE（SAS），
∴EF=QE，
∵AE=QE+AQ=EF+CF，
∴AE=EF+CF，
即（1）中的結(jié)論不成立，線段AE、CF，EF的數(shù)量關(guān)系是AE=EF+CF．
分析：（1）根據(jù)已知可以利用SAS證明△ABE≌△CBF，從而得出對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，從而得出∠ABE=∠CBF=30°，△BEF為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)及邊與邊之間的關(guān)系，即可推出AE+CF=EF；
（2）如圖2，延長FC到H，使CH=AE，連接BH，根據(jù)SAS證△BCH≌△BAE，推出BH=BE，∠CBH=∠ABE，根據(jù)△HBF≌△EBF，推出HF=EF即可；
如圖3，在AE上截取AQ=CF，連接BQ，根據(jù)SAS證△BCF≌△BAQ，推出BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，證△FBE≌△QBE，推出EF=QE即可．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，常用的方法有SSS，SAS，AAS等，這些方法要求學(xué)生能夠掌握并靈活運用．