Question

【題目】已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P，Q在直線BC上，且AP∥DQ，過(guò)點(diǎn)Q作QO⊥BD，垂足為點(diǎn)O，連接OA，OP．

（1）如圖，點(diǎn)P在線段BC上，
①求證：四邊形APQD是平行四邊形；
②判斷OA，OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明；
（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，直接寫(xiě)出BP=1時(shí)，△OBP的面積．

Answer 1

【答案】
（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，

∵AP∥DQ，

∴四邊形APQD為平行四邊形；

②解：結(jié)論：OA=OP，OA⊥OP，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，

∵OQ⊥BD，

∴∠PQO=45°，

∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，

∴OB=OQ，

在△AOB和△OPQ中，

，

∴△AOB≌△POQ（SAS），

∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，

∴∠AOP=∠BOQ=90°，

∴OA⊥OP

（2）解：如圖，過(guò)O作OE⊥BC于E．

①如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，

則BQ=1+2=3，OE= BQ= ，

∴S△OPB= ×1× =

②如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，

則BQ=2﹣1=1，OE= BQ= ，

∴S△PBO= ×1× = ，

綜上所述，△POB的面積為 或 ．

【解析】①由四邊形ABCD是正方形，得到AD∥BC，已知AP∥DQ，得到四邊形APQD為平行四邊形；由正方形的性質(zhì)得AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，已知OQ⊥BD，得到∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，得到OB=OQ，得到△AOB≌△POQ（SAS），得到OA=OP，∠AOB=∠POQ=90°，即OA⊥OP；②當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，則BQ=1+2=3，OE= BQ2= 3 2 ，求出△OPB的面積；當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，則BQ=2﹣1=1，OE=BQ2= 1 2，求出△OPB的面積.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握若一直線過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．