【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,D、F是AB邊上的兩點(diǎn),以DF為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)E,連接EF,過F作FG⊥BC于點(diǎn)G,其中∠OFE= ∠A.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若sinB= ,⊙O的半徑為r,求△EHG的面積(用含r的代數(shù)式表示).

【答案】
(1)

證明:連接OE,

∵在△ABC中,∠C=90°,F(xiàn)G⊥BC,

∴∠BGF=∠C=90°,

∴FG∥AC,

∴∠OFG=∠A,

∴∠OFE= ∠OFG,

∴∠OFE=∠EFG,

∵OE=OF,

∴∠OFE=∠OEF,

∴∠OEF=∠EFG,

∴OE∥FG,

∴OE⊥BC,

∴BC是⊙O的切線


(2)

解:∵在Rt△OBE中,sinB= ,⊙O的半徑為r,

∴OB= r,BE= r,

∴BF=OB+OF= r,

∴FG=BFsinB= r,

∴BG= = r,

∴EG=BG﹣BE= r,

∴SFGE= EGFG= r2,EG:FG=1:2,

∵BC是切線,

∴∠GEH=∠EFG,

∵∠EGH=∠FGE,

∴△EGH∽△FGE,

=( )= ,

∴SEHG= SFGE= r2


【解析】(1)首先連接OE,由在△ABC中,∠C=90°,F(xiàn)G⊥BC,可得FG∥AC,又由∠OFE= ∠A,易得EF平分∠BFG,繼而證得OE∥FG,證得OE⊥BC,則可得BC是⊙O的切線;
    (2)由在△OBE中,sinB= ,⊙O的半徑為r,可求得OB,BE的長,然后由在△BFG中,求得BG,F(xiàn)G的長,則可求得EG的長,易證得△EGH∽△FGE,然后由相似三角形面積比等于相似比的平方,求得答案.此題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí).注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】材料閱讀:若一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2(a、b是正整數(shù))的形式,則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”.例如:因?yàn)?3=32+22,所以13是“完美數(shù)”;再如:因?yàn)閍2+2ab+2b2=(a+b)2+b2(a、b是正整數(shù)),所以a2+2ab+2b2也是“完美數(shù)”.

(1)請你寫出一個(gè)大于20小于30的“完美數(shù)”,并判斷53是否為“完美數(shù)”;

(2)試判斷(x2+9y2)·(4y2+x2)(x、y是正整數(shù))是否為“完美數(shù)”,并說明理由.

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【題目】不等式組 的解集在數(shù)軸上表示為( 。
A.
B.
C.
D.

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【題目】如圖,一次函數(shù)y=x+b的圖象與反比例函數(shù)y= (k為常數(shù),k≠0)的圖象交于點(diǎn)A(﹣1,4)和點(diǎn)B(a,1).
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式和a、b的值;
(2)若A、O兩點(diǎn)關(guān)于直線l對稱,請連接AO,并求出直線l與線段AO的交點(diǎn)坐標(biāo).

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【題目】如圖,AD△ABC的中線,BE△ABD的中線.

(1)在△BED中作BD邊上的高,垂足為F;

(2)若△ABC的面積為40,BD=5,則△BDEBD邊上的高為多少?

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【題目】如圖,用一個(gè)半徑為5cm的定滑輪帶動(dòng)重物上升,滑輪上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了108°,假設(shè)繩索(粗細(xì)不計(jì))與滑輪之間沒有滑動(dòng),則重物上升了( 。

A.πcm
B.2πcm
C.3πcm
D.5πcm

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【題目】ABC中,點(diǎn)OAC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)O作直線MNBC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于E,交∠DCA的平分線于點(diǎn)F

(1)求證:EOFO;

(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形AECF是矩形?并證明你的結(jié)論.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,OA⊥OB,AB⊥x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)A( ,1)在反比例函數(shù)y= 的圖象上.

(1)求反比例函數(shù)y= 的表達(dá)式;
(2)在x軸的負(fù)半軸上存在一點(diǎn)P,使得SAOP= SAOB , 求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若將△BOA繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BDE.直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo),并判斷點(diǎn)E是否在該反比例函數(shù)的圖象上,說明理由.

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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,把矩形沿直線AC折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,AECD于點(diǎn)F,連接DE.

(1)求證:△DEC≌△EDA;

(2)求DF的值;

(3)在線段AB上找一點(diǎn)P,連結(jié)FP使FPAC,連結(jié)PC,試判定四邊形APCF的形狀,并說明理由,直接寫出此時(shí)線段PF的大。

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