【題目】如圖所示,已知拋物線y=x2-1與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C.
(1)求A、B、C三點的坐標;
(2)過點A作AP∥CB交拋物線于點P,求四邊形ACBP的面積;
(3)在x軸上方的拋物線上是否存在一點M,過M作MG⊥x軸于點G,使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似?若存在,請求出M點的坐標;否則,請說明理由.
【答案】(1)A(-1,0),B(1,0),C(0,-1);(2)4;(3)M點的坐標為(-2,3),(,),(4,15).
【解析】
試題分析:(1)拋物線與x軸的交點,即當y=0,C點坐標即當x=0,分別令y以及x為0求出A,B,C坐標的值;
(2)四邊形ACBP的面積=△ABC+△ABP,由A,B,C三點的坐標,可知△ABC是直角三角形,且AC=BC,則可求出△ABC的面積,根據(jù)已知可求出P點坐標,可知點P到直線AB的距離,從而求出△ABP的面積,則就求出四邊形ACBP的面積;
(3)假設(shè)存在這樣的點M,兩個三角形相似,根據(jù)題意以及上兩題可知,∠PAC和∠MGA是直角,只需證明或即可.設(shè)M點坐標,根據(jù)題中所給條件可求出線段AG,CA,MG,CA的長度,然后列等式,分情況討論,求解.
試題解析:(1)令y=0,
得x2-1=0
解得x=±1,
令x=0,得y=-1
∴A(-1,0),B(1,0),C(0,-1);
(2)∵OA=OB=OC=1,
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=∠CBO=45°.
∵AP∥CB,
∴∠PAB=∠CBO=45°.
過點P作PE⊥x軸于E,則△APE為等腰直角三角形,
令OE=a,則PE=a+1,
∴P(a,a+1).
∵點P在拋物線y=x2-1上,
∴a+1=a2-1.
解得a1=2,a2=-1(不合題意,舍去).
∴PE=3.
∴四邊形ACBP的面積S=ABOC+ABPE=×2×1+×2×3=4;
(3)假設(shè)存在
∵∠PAB=∠BAC=45°,
∴PA⊥AC
∵MG⊥x軸于點G,
∴∠MGA=∠PAC=90°
在Rt△AOC中,OA=OC=1,
∴AC=
在Rt△PAE中,AE=PE=3,
∴AP=3
設(shè)M點的橫坐標為m,則M(m,m2-1)
①點M在y軸左側(cè)時,則m<-1.
(。┊敗鰽MG∽△PCA時,有.
∵AG=-m-1,MG=m2-1.
即
解得m1=-1(舍去)m2=(舍去).
(ⅱ)當△MAG∽△PCA時有,
即.
解得:m=-1(舍去)m2=-2.
∴M(-2,3).
②點M在y軸右側(cè)時,則m>1
(。┊敗鰽MG∽△PCA時有
∵AG=m+1,MG=m2-1
∴
解得m1=-1(舍去)m2=.
∴M(,).
(ⅱ)當△MAG∽△PCA時有,
即.
解得:m1=-1(舍去)m2=4,
∴M(4,15).
∴存在點M,使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似
M點的坐標為(-2,3),(,),(4,15).
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【題目】“新冠肺炎”肆虐,無數(shù)抗疫英雄涌現(xiàn),以下四位抗疫英雄是鐘南山、李蘭娟、李文亮、張定宇(依次記為).為讓同學們了解四位的事跡,老師設(shè)計如下活動:取四張完全相同的卡片,分別寫上四個標號,然后背面朝上放置,攪勻后每個同學從中隨機抽取一張,記下標號后放回,老師要求每位同學依據(jù)抽到的卡片上的標號查找相應抗疫英雄的資料,并做成小報.
(1)班長在四種卡片中隨機抽到標號為的概率為_______.
(2)平平和安安兩位同學抽到的卡片是不同英雄的概率是多少?
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【題目】如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=18,DB=DC=15,點E、F分別在線段BD、CD上,DE=DF=5.AE的延長線交邊BC于點G,AF交BD于點N、其延長線交BC的延長線于點H.
(1)求證:BG=CH;
(2)設(shè)AD=x,△ADN的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域;
(3)聯(lián)結(jié)FG,當△HFG與△ADN相似時,求AD的長.
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【題目】已知:如圖,在中,,,.過點作,動點在射線上(點不與重合),聯(lián)結(jié)并延長到點,使.
(1)求的面積;
(2)設(shè),,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出的取值范圍;
(3)連接,如果是直角三角形,求的長.
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【題目】在平面直角坐標系中,拋物線過點,,與y軸交于點C,連接AC,BC,將沿BC所在的直線翻折,得到,連接OD.
(1)用含a的代數(shù)式表示點C的坐標.
(2)如圖1,若點D落在拋物線的對稱軸上,且在x軸上方,求拋物線的解析式.
(3)設(shè)的面積為S1,的面積為S2,若,求a的值.
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【題目】為了落實國務(wù)院的指示精神,某地方政府出臺了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策,使農(nóng)民收入大幅度增加.某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品,已知這種產(chǎn)品的成本價為每千克20元,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天的銷售量y(千克)與銷售價x(元/千克)有如下關(guān)系:y=﹣2x+80.設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為w元.
(1)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)該產(chǎn)品銷售價定為每千克多少元時,每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少元?
(3)如果物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不高于每千克28元,該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤,銷售價應定為每千克多少元?
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【題目】某景區(qū)檢票口有A、B、C、D共4個檢票通道.甲、乙兩人到該景區(qū)游玩,兩人分別從4個檢票通道中隨機選擇一個檢票.
(1)甲選擇A檢票通道的概率是 ;
(2)求甲乙兩人選擇的檢票通道恰好相同的概率.
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【題目】如圖,若拋物線與軸相交于,兩點,與軸相交于點,直線經(jīng)過點,.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點是直線下方拋物線上一動點,過點作軸于點,交于點,連接.
①線段是否有最大值?如果有,求出最大值;如果沒有,請說明理由;
②在點運動的過程中,是否存在點,恰好使是以為腰的等腰三角形?如果存在,請直接寫出點的坐標;如果不存在,請說明理由.
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【題目】某水果店3月份購進甲種水果50千克、乙種水果80千克,共花費1700元,其中甲種水果以15元/千克,乙種水果以20元/千克全部售出;4月份又以同樣的價格購進甲種水果60千克、乙種水果40千克,共花費1200元,由于市場不景氣,4月份兩種水果均以3月份售價的8折全部售出.
(1)求甲、乙兩種水果的進價每千克分別是多少元?
(2)請計算該水果店3月和4月甲、乙兩種水果總贏利多少元?
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