【題目】在矩形ABCD中,M為AD邊上一點,MB平分∠AMC.
(1)如圖1,求證:BC=MC;
(2)如圖2,G為BM的中點,連接AG、DG,過點M作MN∥AB交DG于點E、交BC于點N.
①求證:AG⊥DG;
②當(dāng)DGGE=13時,求BM的長.
【答案】(1)見解析;(2)①見解析;②2.
【解析】
(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AMB=∠MBC,根據(jù)角平分線的定義得到∠AMB=∠BMC,根據(jù)等腰三角形的判定定理證明;
(2)①連接GC,根據(jù)等腰三角形的三線合一得到∠BGC=90°,證明△AGD≌△BGC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明;
②證明△MGE∽△DGM,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可.
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠AMB=∠MBC,
∵MB平分∠AMC,
∴∠AMB=∠BMC,
∴∠BMC=∠MBC,
∴BC=MC;
(2)①證明:連接GC,
∵CM=CB,G為BM的中點,
∴∠BGC=90°,
∵∠BAM=90°,G為BM的中點,
∴GA=GB=GM,
∴∠GAB=∠GBA,
∴∠GAD=∠GBC,
在△AGD和△BGC中,
,
∴△AGD≌△BGC(SAS),
∴∠AGD=∠BGC=90°,即AG⊥DG;
②解:∵MN∥AB,
∴∠MNB=90°,又∵∠BGC=90°,
∴∠BMN=∠BCG,
∵△AGD≌△BGC,
∴∠GDM=∠BCG,
∴∠BMN=∠GDM,又∠MGE=∠DGM,
∴△MGE∽△DGM,
∴,
∴MG2=DGGE=13,
∴MG=,
∴BM=2.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC為菱形,點C的坐標(biāo)為(4,0),∠AOC=60°,垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動,設(shè)直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點M、N(點M在點N的上方).
(1)求A、B兩點的坐標(biāo);
(2)設(shè)△OMN的面積為S,直線l運動時間為t秒(0≤t≤6),試求S與t的函數(shù)表達式;
(3)在題(2)的條件下,是否存在某一時刻,使得△OMN的面積與OABC的面積之比為3:4?如果存在,請求出t的取值;如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線(是常數(shù))經(jīng)過點.
(1)求該拋物線的解析式和頂點坐標(biāo);
(2)P(m,t)為拋物線上的一個動點,關(guān)于原點的對稱點為.
①當(dāng)點落在該拋物線上時,求的值;
②當(dāng)點落在第二象限內(nèi),取得最小值時,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,把可以自由轉(zhuǎn)動的圓形轉(zhuǎn)盤A,B分別分成3等份的扇形區(qū)域,并在每一個小區(qū)域內(nèi)標(biāo)上數(shù)字.小明和小穎兩個人玩轉(zhuǎn)盤游戲,游戲規(guī)則是:同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時,若指針兩區(qū)域的數(shù)字均為奇數(shù),則小明勝;若指針兩區(qū)域的數(shù)字均為偶數(shù),則小穎勝;若有指針落在分割線上,則無效,需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤.這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為矩形,AB=4cm,AD=3cm,動點M、N分別從D、B同時出發(fā),都以1cm/秒的速度運動,點M沿DA向點終點A運動,點N沿BC向終點C運動.過點N作NP⊥BC,交AC于點P,連接MP,已知運動的時間為t秒(0<t<3).
(1)當(dāng)t=1秒時,求出PN的長;
(2)若四邊形CDMP的面積為s,試求s與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在運動過程中,是否存在某一時刻t使四邊形CDMP的面積與四邊形ABCD的面積比為3:8,若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由.
(4)在點M、N運動過程中,△MPA能否成為一個等腰三角形?若能,試求出所有t的可能值;若不能,試說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=4,點D是AC的中點,點F是邊AB上一動點,沿DF所在直線把△ADF翻折到△A′DF的位置,若線段A′D交AB于點E,且△BA′E為直角三角形,則BF的長為_____.
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【題目】主題班會課上,王老師出示了如圖一幅漫畫,經(jīng)過同學(xué)們的一番熱議,達成以下四個觀點:
A.放下自我,彼此尊重; B.放下利益,彼此平衡;
C.放下性格,彼此成就; D.合理競爭,合作雙贏.
要求每人選取其中一個觀點寫出自己的感悟,根據(jù)同學(xué)們的選擇情況,小明繪制了如圖兩幅不完整的圖表,請根據(jù)圖表中提供的信息,解答下列問題:
觀點 | 頻數(shù) | 頻率 |
A | a | 0.2 |
B | 12 | 0.24 |
C | 8 | b |
D | 20 | 0.4 |
(1)參加本次討論的學(xué)生共有 人;
(2)表中a= ,b= ;
(3)將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(4)現(xiàn)準備從A,B,C,D四個觀點中任選兩個作為演講主題,請用列表或畫樹狀圖的方法求選中觀點D(合理競爭,合作雙贏)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖為放置在水平桌面上的臺燈的平面示意圖,可伸縮式燈臂AO長為40 cm,與水平面所形成的夾角∠OAM恒為75°(不受燈臂伸縮的影響).由光源0射出的光線沿?zé)粽中纬晒饩OC,OB,與水平面所形成的夾角∠OCA,∠OBA分別為90°和30°.
(1)求該臺燈照亮桌面的寬度BC.(不考慮其他因素,結(jié)果精確到1 cm,參考數(shù)據(jù):sin75°≈0.97,cos75°≈0.26, ≈1.73)
(2)若燈臂最多可伸長至60 cm,不調(diào)整燈罩的角度,能否讓臺燈照亮桌面85 cm的寬度?
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【題目】二次函數(shù)y=x2-2mx+3(m>)的圖象與x軸交于點A(a,0)和點B(a+n,0)(n>0且n為整數(shù)),與y軸交于C點.
(1)若a=1,①求二次函數(shù)關(guān)系式;②求△ABC的面積;
(2)求證:a=m-;
(3)線段AB(包括A、B)上有且只有三個點的橫坐標(biāo)是整數(shù),求a的值.
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