在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(10,0),(2,4).
(1)若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn),求經(jīng)過O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)若P為拋物線上異于C的點(diǎn),且△OAP是直角三角形,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若拋物線頂點(diǎn)為D,對稱軸交x軸于點(diǎn)M,探究:拋物線對稱軸上是否存在異于D的點(diǎn)Q,使△AQD是等腰三角形?若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn),橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù),可據(jù)此求出點(diǎn)C的坐標(biāo);然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)根據(jù)O、A、C的坐標(biāo)可知:△OAC是直角三角形,且∠OCA=90°,根據(jù)拋物線的對稱性知C點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)也一定符合條件,可由此寫出P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)根據(jù)拋物線的解析式可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸方程,即可確定D點(diǎn)的坐標(biāo)和Q點(diǎn)的橫坐標(biāo);設(shè)出Q點(diǎn)縱坐標(biāo),然后分別表示出AD、QD、QA的長;根據(jù)①Q(mào)D=DA,②QD=QA,③AD=AQ;三種不同情況所得到的等量關(guān)系來求出Q點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵B(2,4),
∴C(2,-4);
設(shè)過O、C、A三點(diǎn)的拋物線解析式為y=ax(x-10)
將C(2,-4)代入,
得a=;
所以,拋物線解析式為y=-

(2)存在.P(8,-4)

(3)存在點(diǎn)Q使得△DQA為等腰三角形
由(1)拋物線解析式為y=-
可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)(5,-
則|AD|=,若|QA|=|DA|
則由對稱性知滿足條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,),記為Q:(5,
若|QD|=|DA|
則結(jié)合圖形,可求得滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為(5,),(5,
記為Q2(5,),Q3(5,);
若|QD|=|QA|
則設(shè)Q(5,y),由
解得y=,
所以滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為(5,),記為Q4(5,)(12分)
所以,滿足條件的點(diǎn)Q有Q1(5,),Q2(5,),Q3(5,-),Q4(5,-)四個(gè)點(diǎn).
點(diǎn)評:此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、拋物線的對稱性、等腰三角形的判定等重要知識(shí)點(diǎn),在等腰三角形腰和底不確定的情況下,一定要分類討論,以免漏解.
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(-6,8)

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-7

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(1)請?jiān)偬砑右稽c(diǎn)C,求出圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式.
(2)反思第(1)小問,考慮有沒有更簡捷的解題策略?請說出你的理由.

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,開口向下的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),D是拋物線的頂點(diǎn),O為精英家教網(wǎng)坐標(biāo)原點(diǎn).A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是方程x2-4x-12=0的兩根,且cos∠DAB=
2
2

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)作AC⊥AD,AC交拋物線于點(diǎn)C,求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)解析式;
(3)在(2)的條件下,在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使△APC的面積最大?如果存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△APC的最大面積;如果不存在,請說明理由.

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18、在平面直角坐標(biāo)系中,把一個(gè)圖形先繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為θ,再以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k得到一個(gè)新的圖形,我們把這個(gè)過程記為【θ,k】變換.例如,把圖中的△ABC先繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為90°,再以原點(diǎn)為位似中心,相似比為2得到一個(gè)新的圖形△A1B1C1,可以把這個(gè)過程記為【90°,2】變換.
(1)在圖中畫出所有符合要求的△A1B1C1
(2)若△OMN的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0,0)、M(2,4)、N(6,2),把△OMN經(jīng)過【θ,k】變換后得到△O′M′N′,若點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(-1,-2),則θ=
0°(或360°的整數(shù)倍)
,k=
2

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