Question

如圖所示，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（28，0）和（0，28），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AO方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)O出發(fā)沿OB方向以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，EF∥x軸交AB于F，連接FP，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）用含t的代數(shù)式表示EF的長度；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上（不包括O，A）運(yùn)動(dòng)時(shí)，記梯形OPFE的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)t為何值時(shí)，S最大，最大值是多少？
（3）是否存在點(diǎn)P，使△EFP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知得：OA=OB=28，OE=t，因?yàn)镋F∥x軸，所以△BEF∽△BOA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得關(guān)于BE，BO，EF，OA的比例式，把已知數(shù)據(jù)代入即可得到EF和t的關(guān)系式；
（2）要求梯形的面積就要知道兩底和高的值，根據(jù)動(dòng)直線的速度，可以用時(shí)間表示出OE的長，也就表示出了梯形的高，根據(jù)P的速度可用時(shí)間t表示出AP，然后根據(jù)AO的長得出OP的長，現(xiàn)在關(guān)鍵是底EF的長，由于△AOB是個(gè)等腰直角三角形，那么△BEF也應(yīng)該是個(gè)等腰直角三角形，那么BE=EF，有了OB，OE的長，就可以表示出BE，EF的長，這樣可根據(jù)梯形的面積公式求出梯形的面積，也就求出了梯形的面積與t的函數(shù)關(guān)系式，就能求出當(dāng)t=1時(shí)梯形的面積，也能求出梯形的最大面積以及對(duì)應(yīng)的t的值；
（3）存在點(diǎn)P，使△EFP為等腰三角形，分三種情況：①當(dāng)PE=PF時(shí)，點(diǎn)P在EF的中垂線上②當(dāng)EF=PF時(shí)，③當(dāng)EF=EP時(shí)討論，根據(jù)勾股定理求出符合題意的t值即可．

解答：解：（1）由已知得：OA=OB=28，OE=t，
∴BE=28-t，
∵EF∥x軸，
∴△BEF∽△BOA，
∴

BE

BO

=

EF

OA

，
∴

28-t

28

=

EF

28

，
∴EF=28-t；

（2）∵PA=3t∴OP=28-3t，
∴S=

1

2

（28-3t+28-t）t=-2t²+28t=-2 （t-7）²+98，
∴當(dāng)t=7時(shí)，S最大，最大值為98；

（3）存在點(diǎn)P，使△EFP為等腰三角形，分三種情況：
①當(dāng)PE=PF時(shí)，點(diǎn)P在EF的中垂線上（如圖1），
由（1）知點(diǎn)F為（28-t，t），
∴xP=

xE+xF

2

=14-

1

2

t，
∴14-

1

2

t+3t=28，
∴t=

28

5

，
∴OP=28-3t=

56

5

，
∴P₁（

56

5

，0），
②當(dāng)EF=PF時(shí)，如圖2，作FH⊥OA于H，則FH=t，
∴AH=t，
∴PH=3t-t=2t，
由勾股定理得：（28-t）²=t²+（2t）²
∴t1=-7+7

5

，t2=-7-7

5

（不合題意，舍去）
∴OP=49-21

5

，
∴P₂（49-21

5

，0），
③當(dāng)EF=EP時(shí)，如圖3，OP=3t-28，
由勾股定理得：（28-t）²=t²+（3t-28）²
∴t₁=0（舍去），t₂=

112

9

，
∴OP=3t-28=

84

9

∴P₃（-

28

3

，0）．
綜上所述，當(dāng)P₁（

56

5

，0），P₂（49-21

5

，0），P₃（-

28

3

，0）時(shí)，△PEF為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，相似是三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的各特殊角得出線段間的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵，題目的綜合性很強(qiáng)，難度不�。�