Question

觀察，計(jì)算，判斷：（只填寫符號(hào)：＞，＜，=）
（1）當(dāng)a=2，b=2時(shí)，

a+b

2

與

ab

的大小關(guān)系是

=

．
（2）當(dāng)a=3，b=3時(shí)，

a+b

2

與

ab

的大小關(guān)系是

=

．
（3）當(dāng)a=4，b=4時(shí)，

a+b

2

與

ab

的大小關(guān)系是

=

．
（4）當(dāng)a=4，b=1時(shí)，

a+b

2

與

ab

的大小關(guān)系是

＞

．
（5）當(dāng)a=5，b=3時(shí)，

a+b

2

與

ab

的大小關(guān)系是

＞

．
（6）當(dāng)a=7，b=6時(shí)，

a+b

2

與

ab

的大小關(guān)系是

＞

．
…
寫出關(guān)于

a+b

2

與

ab

之間數(shù)量關(guān)系的猜想：

a+b

2

≥

ab

．
探究證明：（提示：(

a

-

b

)2≥0）
實(shí)踐應(yīng)用：要制作面積為1平方米的長(zhǎng)方形鏡框，直接利用探究得出的結(jié)論，求出鏡框周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析：（1）-（6）分別代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；
探究證明：根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，（

a

-

b

）²≥0，再利用完全平方公式展開(kāi)整理即可得證；
實(shí)踐應(yīng)用：鏡框?yàn)檎�方形時(shí)，周長(zhǎng)最小，然后根據(jù)正方形的面積求出邊長(zhǎng)，即可得解．

解答：解：（1）當(dāng)a=2，b=2時(shí)，

a+b

2

=

2+2

2

=2，

ab

=

2×2

=2，

a+b

2

=

ab

；
（2）當(dāng)a=3，b=3時(shí)，

a+b

2

=

3+3

2

=3，

ab

=

3×3

=3，

a+b

2

=

ab

；
（3）當(dāng)a=4，b=4時(shí)，

a+b

2

=

4+4

2

=4，

ab

=

4×4

=4，

a+b

2

=

ab

；
（4）當(dāng)a=4，b=1時(shí)，

a+b

2

=

4+1

2

=

5

2

，

ab

=

4×1

=2，

a+b

2

＞

ab

；
（5）當(dāng)a=5，b=3時(shí)，

a+b

2

=

5+3

2

=4，

ab

=

5×3

=

15

，

a+b

2

＞

ab

；
（6）當(dāng)a=7，b=6時(shí)，

a+b

2

=

7+6

2

=6.5，

ab

=

7×6

＜6.5，

a+b

2

＞

ab

；
…
猜想：

a+b

2

≥

ab

；

探究證明：根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)（

a

-

b

）²≥0，
∴a-2

ab

+b≥0，
整理得，

a+b

2

≥

ab

；

實(shí)踐應(yīng)用：面積為1平方米的長(zhǎng)方形鏡框長(zhǎng)與寬相等，即為正方形時(shí)，周長(zhǎng)最小，
所以，邊長(zhǎng)為1，
周長(zhǎng)為1×4=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次根式的應(yīng)用，準(zhǔn)確進(jìn)行運(yùn)算判斷出兩個(gè)算式的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．