Question

（2010•鄂州）如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中點，AE=EC，∠BAC=3∠DBC，BD=6+6，則AB=    ．

Answer 1

【答案】分析：作輔助圓A，由已知證明△ABC為等腰直角三角形，△ACD為等邊三角形，作CF⊥BD，將△BCD分為兩個直角三角形，解直角三角形，列方程求解．
解答：解：法一：以點A為圓心，AB為半徑畫圓，作CF⊥BD，垂足為F，
∵AB=AC=AD，∴C、D兩點都在⊙A上，
∵E是CB的中點，AE=EC，由垂徑定理得，
AE=EC=BE，AE⊥BC，
∴∠BAC=90°，
∠BDC=∠BAC=45°，
又∵∠BAC=3∠DBC，
∴∠DBC=30°，
∠CAD=2∠DBC=60°，
△ACD為等邊三角形，
設AB=AC=CD=x，
在Rt△ABC中，BC=x，
在Rt△BCF中，∠FBC=30°，BF=BC=x，
同理，DF=x，
由DF+BF=BD，得x+x=6+6
解得x=12，即AB=12．

法二：作CF⊥BD，垂足為F，
∵AB=AC，E是CB的中點，AE=EC
∴AE=BE=EC，AE⊥BC，
∴∠BAE=∠ABE=45°，∠ACE=∠EAC=45°，
∴∠BAC=90°，
又∵∠BAC=3∠DBC，
∴∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ADB=15°，
∴∠BAD=150°，
∴∠CAD=60°，
△ACD為等邊三角形，
設AB=AC=CD=x，
在Rt△ABC中，BC=x，
在Rt△BCF中，∠FBC=30°，BF=BC=x，
同理，DF=x，
由DF+BF=BD，得x+x=6+6
解得x=12，即AB=12．
點評：本題主要考查了等腰三角形的性質，直角三角形的判定及圓的相關知識，解直角三角形，列方程求解．