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如圖,四邊形中ABCD中,E,F分別是AB,CD的中點,P為對角線AC延長線上的任意一點,PF交AD于M,PE交BC于N,EF交MN于K.
求證:K是線段MN的中點.

證明:∵EF截△PMN,

∵BC截△PAE,
,
∴即有,
所以,
∵AD截△PCF,
,
,∴
因AP=AC+CP,得2CP+AC=2AP-AC,由(3),(4)得,
,
,
所以由(1)得NK=KM,即K是線段MN的中點.
分析:根據題意,EF截△PMN,則;BC截△PAE,則;所以.而AD截△PCF,則,即,∴,因AP=AC+CP,得2CP+AC=2AP-AC,由(3),(4)得,,即,所以由(1)得NK=KM,即K是線段AM的中點.
點評:本題考查了線段截三角形所得的線段的比為定值.以及比例的性質.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,過點B作射線BB1∥AC.動點D從點A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動,同時動點E從點C出發(fā)沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動.過點D作DH⊥AB于H,過點E作EF⊥AC交射線BB1于F,G是EF中點,連接DG.設點D運動的時間為t秒.精英家教網
(1)當t為何值時,AD=AB,并求出此時DE的長度;
(2)當△DEG與△ACB相似時,求t的值;
(3)以DH所在直線為對稱軸,線段AC經軸對稱變換后的圖形為A′C′.
①當t>
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時,連接C′C,設四邊形ACC′A′的面積為S,求S關于t的函數關系式;
②當線段A′C′與射線BB′,有公共點時,求t的取值范圍(寫出答案即可).

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,DE平分∠ADB,∠BDC=∠BCD.
(1)求證:∠1+∠2=90°;
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(2)若∠ABD的平分線與CD的延長線交于F,且∠F=55°,求∠ABC;
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(3)若H是BC上一動點,F是BA延長線上一點,FH交BD于M,FG平分∠BFH,交DE于N,交BC于G.當H在BC上運動時(不與B點重合),
∠BAD+∠DMH∠DNG
的值是否變化?如果變化,說明理由;如果不變,試求出其值.
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科目:初中數學 來源: 題型:

(2012•海珠區(qū)一模)如圖1,在△ABC中,AB=BC=5,AC=6,△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的,連接AE、AC、BE,且AC和BE相交于點O.
(1)求證:四邊形ABCE是菱形;
(2)如圖2,P是線段BC上一動點(不與B、C重合),連接PO并延長交線段AE于點Q,過Q作QR⊥BD交BD于R.
①四邊形PQED的面積是否為定值?若是,請求出其值;若不是,請說明理由;
②以點P、Q、R為頂點的三角形與以點B、C、O為頂點的三角形是否可能相似?若可能,請求出線段BP的長;若不可能,請說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5.點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動,到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回;點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動.伴隨著P、Q的運動,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于點D,交折線QB-BC-CP于點E.點P、Q同時出發(fā),當點Q到達點B時停止運動,點P也隨之停止.設點P、Q運動的時間是t秒(t>0).
(1)當t=2時,AP=
1
1
,點Q到AC的距離是
8
5
8
5
;
(2)在點P從C向A運動的過程中,將△APQ的面積S用關于t的代數式來表示;(不必寫出t的取值范圍)
(3)在點E從B向C運動的過程中,四邊形QBED能否成為直角梯形?若能,求t所有可能的值;若不能,請說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•遵義)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.動點M,N從點C同時出發(fā),均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A,B移動,同時動點P從點B出發(fā),以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動,連接PM,PN,設移動時間為t(單位:秒,0<t<2.5).
(1)當t為何值時,以A,P,M為頂點的三角形與△ABC相似?
(2)是否存在某一時刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值?若存在,求S的最小值;若不存在,請說明理由.

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