Question

如圖（1），拋物線y=-12與x軸交于B、C兩點（點B在點C的左側），拋物線上另有一點A在第一象限內，四邊形OACD是菱形．
（1）求點D的坐標；
（2）如圖（2），設垂直于x軸的動直線x=n與拋物線交于點M，與邊CD交于點N記四邊形AMCN的面積為s，試證明s是n的函數．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD，交OC于E點，令y=-12=0，求出B坐標為（3，0）和C點的坐標為（8，0），根據菱形的性質，AD⊥OC，AE=ED，可知E點坐標為（4，0），設D點坐標為（4，-y），則A點坐標為（4，y），點A又在拋物線上，A點坐標代入，即可求出y的值，進而D點坐標求出．
（2）設直線CD的直線方程為y=kx+b，待定系數法求出k和b的值，求出直線解析式，進而求出N點的坐標，聯立x=n和拋物線的函數解析式，求出M點的坐標，進而求出線段MN的長，即可求出四邊形AMCN的面積為s的表達式：s=S_△AMN+S_△CMN，證明s是n的函數．
解答：解：（1）連接AD，交OC于E點，
∵拋物線y=-12與x軸交于B、C兩點（點B在點C的左側），
∴令y=-12=0，
即x²-11x+24=0，
解得x₁=3，x₂=8，
∴點B的坐標為（3，0），C點的坐標為（8，0），
∵OACD是菱形，
∴AD⊥OC，AE=ED，
∴E點坐標為（4，0），
設D點坐標為（4，-y），則A點坐標為（4，y），
∵A點在拋物線y=-12上，
∴y=-×16+22-12=2，
∴D點坐標為（4，-2），則A點坐標為（4，2）；

（2）設直線CD的直線方程為y=kx+b，C點坐標為（8，0），D點坐標為（4，-2），
則，解得k=，b=-4，
∴直線CD的解析式為y=x-4，
當x=n時，y=n-4，
∴N點坐標為（n，n-4），
直線M在拋物線y=-12上，M的橫坐標為x=n，
∴y=-n²+n-12，
∴M點坐標為（n，-n²+n-12），
線段MN的長度為-n²+n-12-n+4=-n²+5n-8，
四邊形AMCN的面積s=S_△AMN+S_△CMN=×（-n²+5n-8）×（n-4）+×（-n²+5n-8）×（8-n）=-n²+10n-16，
∴s是n的函數．
點評：本題主要考查二次函數綜合題的知識點，本題涉及了菱形的性質、直線解析式得求法，特別是（2）問需要把四邊形拆開成兩個三角形進行面積計算，此題難度較大．