Question

如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，與兩坐標(biāo)軸交點為點A和點C，與拋物線交于點B，其中點A（0，2），點B（– 3，1），拋物線與y軸交點D（0，– 2）．

(1)  求拋物線的解析式；

(2)  求點C的坐標(biāo)；

(3)  在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：(1) 將（–3，1），（0，–2）代入得：

∴ 拋物線的解析式為：

        (2) 過B作BE⊥x軸于E，則E（–3，0），易證△BEC≌△COA

∴ BE = AO = 2   CO = 1  

∴ C（–1，0）

        (3) 延長BC到P，使CP = BC，連結(jié)AP，

則△ACP為以AC為直角邊的等腰直角三角形

過P作PF⊥x軸于F，易證△BEC≌△DFC

∴ CF = CE = 2  PF= BE = 1

∴ P（1，– 1）

將（1，– 1）代入拋物線的解析式滿足

若，AC = AP

則四邊形ABCP為平行四邊形

過P作PG⊥y軸于G，易證△PGA≌△CEB

∴ PG = 2   AG = 1

∴ P（2，1）在拋物線上

∴ 存在P（1，– 1），（2，1）滿足條件