Question

如圖，⊙O的半徑為2，直徑CD經(jīng)過(guò)弦AB的中點(diǎn)G，若的長(zhǎng)等于圓周長(zhǎng)的．
（1）填空：cos∠ACB=______；
（2）求的值．

Answer 1

解：（1）∠AOB=360°÷6=60°．
∵∠BCD=∠ACD=30°，
cos∠ACB=cos30°=．

（2）解法一：連接OA、OB，則有OA=OB=2．
∵的長(zhǎng)等于圓周長(zhǎng)的，
∴∠AOB=360°×=60°．
∴△AOB是等邊三角形，∠OAB=∠OBA=60°．
∵直徑CD經(jīng)過(guò)弦AB的中點(diǎn)G，∴CD⊥AB．
∴OG=OBsin60°=，GB=OBcos60°=1．
∴GD=OD-OG=2-．
∴=2-．
解法二：連接OA、OB，則有OA=OB=2．
∵的長(zhǎng)等于圓周長(zhǎng)的，
∴∠AOB=360°×=60°．
∵直徑CD經(jīng)過(guò)弦AB的中點(diǎn)G，∴CD⊥AB．
∴∠BOG=∠AOB=30°．
∴GB=1，OG==
∴GD=OD-OG=2-
∴=2-．
分析：連接OA，OB，由的長(zhǎng)等于圓周長(zhǎng)的知，∠AOB=360°÷6=60°，由圓周角定理知由特殊角的三角函數(shù)值知，cos∠ACB=cos30°=，由于直徑CD經(jīng)過(guò)弦AB的中點(diǎn)G，根據(jù)垂徑定理知，OG⊥AB，點(diǎn)D是弧AB的中點(diǎn)，由圓周角定理知，∠ABD=∠ACD=30°，由正切的概念知，GD：GB=tan∠ABD=tan30°=．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了周角的概念，圓周角定理，特殊角的三角函數(shù)值，垂徑定理，正切的概念求解．