Question

綜合與探究：如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè))與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,以BC為一邊,點(diǎn)O為對稱中心作菱形BDEC,點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q。

（1）求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)。

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動時(shí)，直線l分別交BD，BC于點(diǎn)M,N。試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，此時(shí)，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由。

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動時(shí)，是否存在點(diǎn) Q，使△BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，，解得，，

∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為：（－2，0），（8，0）。

當(dāng)x=0時(shí)，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，－4）。

（2）由菱形的對稱性可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4）。

設(shè)直線BD的解析式為，則，解得，。

∴直線BD的解析式為。

∵l⊥x軸，∴點(diǎn)M，Q的坐標(biāo)分別是（m，），（m，）

如圖，當(dāng)MQ=DC時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形。

∴，化簡得：。

解得，m₁=0，（舍去）m₂=4。

當(dāng)m=4時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，此時(shí)，四邊形CQBM也是平行四邊形。理由如下：

∵m=4，∴點(diǎn)P是OB中點(diǎn)。

∵l⊥x軸，∴l(xiāng)∥y軸。

∴△BPM∽△BOD�！��！郆M=DM。

∵四邊形CQMD是平行四邊形，∴DMCQ�！郆MCQ。

∴四邊形CQBM為平行四邊形。

（3）拋物線上存在兩個這樣的點(diǎn)Q，分別是Q₁（－2，0），Q₂（6，－4）。

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，可求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)。

（2）由菱形的對稱性可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可求直線BD的解析式，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得關(guān)于m的方程，求得m的值；再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形CQBM的形狀。

（3）分DQ⊥BD，BQ⊥BD兩種情況討論可求點(diǎn)Q的坐標(biāo)：由B（8，0），D（0，4），Q（m，）應(yīng)用勾股定理求出三邊長，再由勾股定理分DQ⊥BD，BQ⊥BD兩種情況列式求出m即可。