Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，點(diǎn)G為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A停止，以GD為邊作正方形DEFG，則點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程為_______．

Answer 1

【答案】3

【解析】

建立下圖所示的坐標(biāo)系，過點(diǎn)E作EH⊥y軸，垂足為H，先證明△EDH≌△DGC，則DH=GC=2，DC=EH，設(shè)DC=t，則EH=t，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-t，t+2），然后求得當(dāng)t=0和t=3時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求解．

解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，過點(diǎn)E作EH⊥y軸，垂足為H．

∵BC=4，點(diǎn)G為邊BC的中點(diǎn)，
∴GC=2．
∵DEFG為正方形，
∴ED=DG，∠EDG=90°．
∴∠EDH+∠GDC=90°．
又∵∠EDH+∠HED=90°，
∴∠GDC=∠HED．
在△EDH和△DGC中，∠GDC=∠HED，∠EHD=∠DCG，ED=DG，
∴△EDH≌△DGC．
∴DH=GC=2，DC=EH．
設(shè)DC=t，則EH=t，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-t，t+2），
∴點(diǎn)E在直線y=-x+2．
由題意可知：0＜t≤3，
當(dāng)t=0時(shí)，y=2，E（0，2）
當(dāng)t=3時(shí)，y=5，E（-3，5）
∴點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路線長= ．
故答案為：3 ．