Question

【題目】如圖，是一塊含30°（即∠CAB＝30°）角的三角板和一個(gè)量角器拼在一起，三角板斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN恰好重合，其量角器最外緣的讀數(shù)是從N點(diǎn)開始（即N點(diǎn)的讀數(shù)為0°），現(xiàn)有射線CP繞點(diǎn)C從CA的位置開始按順時(shí)針方向以每秒2度的速度旋轉(zhuǎn)到CB位置，在旋轉(zhuǎn)過程中，射線CP與量角器的半圓弧交于E．

（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)7.5秒時(shí)，連接BE，試說明：BE＝CE；

（2）填空：①當(dāng)射線CP經(jīng)過△ABC的外心時(shí)，點(diǎn)E處的讀數(shù)是　 　．

②當(dāng)射線CP經(jīng)過△ABC的內(nèi)心時(shí)，點(diǎn)E處的讀數(shù)是　 　；

③設(shè)旋轉(zhuǎn)x秒后，E點(diǎn)出的讀數(shù)為y度，則y與x的函數(shù)式是y＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①120°；②90°；③y＝180﹣4x

【解析】

（1）由于是每次都旋轉(zhuǎn)2°且CP的旋轉(zhuǎn)決定著∠ACE和∠ABE，且二者都是從0°開始的，所以：∠ACE＝∠ABE，只要證明：∠CBE＝∠BCE即可證明BE＝CE；

（2）①當(dāng)射線CP經(jīng)過△ABC的外心時(shí)，CP經(jīng)過AB的中心且此時(shí)有：CO＝AO，可以得出∠OCA＝∠CAB＝30°，即可求出點(diǎn)E處的度數(shù)；

②當(dāng)射線CP經(jīng)過△ABC的內(nèi)心時(shí)，內(nèi)心到三邊的距離相等，即CP為∠ACB的角平分線，所以有∠ABE＝∠ACE＝45°，即可求出點(diǎn)E處的度數(shù)；

③由于每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)一樣，所以旋轉(zhuǎn)x秒后，∠BCE的度數(shù)為90°﹣2x，從而得出∠BOE的度數(shù)，也即可得出y與x的函數(shù)式．

（1）證明：連接BE，如圖所示：

∵射線CP繞點(diǎn)C從CA的位置開始按順時(shí)針方向以每秒2度的速度旋轉(zhuǎn)

∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)7.5秒時(shí)，∠ACE＝7.5×2°＝∠ABE＝15°

又∵∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，∠ACB＝90°

∴∠CBE＝75°，∠BCE＝90°﹣15°＝75°，

即：∠CBE＝∠BCE＝75°

∴BE＝CE．

（2）解：①當(dāng)射線CP經(jīng)過△ABC的外心時(shí)，CP經(jīng)過AB的中點(diǎn)且此時(shí)有：CO＝AO；

∴∠OCA＝∠CAB＝30°，∠AOE＝60°

∴點(diǎn)E處的讀數(shù)是120°．

②當(dāng)射線CP經(jīng)過△ABC的內(nèi)心時(shí)，即CP為∠ACB的角平分線，

圓周角∠BCE＝＝45°，圓心角為90°，

∴點(diǎn)E處的讀數(shù)是90°．

③旋轉(zhuǎn)x秒后，∠BCE的度數(shù)為90﹣2x，∠BOE的度數(shù)為180°﹣4x，

故可得y與x的函數(shù)式為：y＝180°﹣4x．