Question

如圖，將邊長都為1cm的正方形按如圖所示擺放，點A₁、A₂、A₃、A₄分別是正方形的中心，則前5個這樣的正方形重疊部分的面積和為（　�。�

• A．

  1

  4

• B．

  1

  2

• C．1
• D．2

Answer 1

分析：過點A₁分別作正方形兩邊的垂線A₁D與A₁E，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得A₁D=A₁E，四邊形A₁EA₂D是正方形，再根據(jù)同角的余角相等求出∠BA₁D=∠CA₁E，然后利用“角邊角”證明△A₁BD和△A₁CE全等，根據(jù)全等三角形的面積相等求出陰影部分的面積等于正方形面積的

1

4

，同理可求所有陰影部分的面積都是正方形的面積的

1

4

，然后根據(jù)正方形的面積列式計算即可．

解答：解：如圖，過點A₁分別作正方形兩邊的垂線A₁D與A₁E，
∵點A₁是正方形的中心，
∴A₁D=A₁E，四邊形A₁EA₂D是正方形，
∴∠BA₁D+∠BA₁E=90°，
又∵∠CA₁E+∠BA₁E=90°，
∴∠BA₁D=∠CA₁E，
在△A₁BD和△A₁CE中，

∠BA1D=∠CA1E A1D=A1E ∠A1DB=∠A1EC=90°

，
∴△A₁BD≌△A₁CE（ASA），
∴△A₁BD的面積=△A₁CE的面積，
∴陰影部分的面積=正方形A₁EA₂D的面積=

1

4

×1²=

1

4

，
同理可求，每一個陰影部分的面積都是正方形面積的

1

4

，為

1

4

，
∴重疊部分的面積和=

1

4

×4=1．
故選C．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形求出陰影部分的面積是正方形的面積的

1

4

是解題的關(guān)鍵．