Question

已知：如圖，四邊形ABCD為菱形，△ABD的外接圓⊙O與CD相切于點D，交AC于點E．
（1）判斷⊙O與BC的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若CE=2，求⊙O的半徑r．

Answer 1

考點：切線的判定與性質(zhì),菱形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)，可得∠ODC的度數(shù)，根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得CD與BC的關(guān)系，根據(jù)SSS，可得三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得∠OBC的度數(shù)，根據(jù)切線的判定，可得答案；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠ACD=∠CAD，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，∠COD=∠OAD+∠AOD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得OC與OD的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得答案．

解答：解：（1）⊙O與BC相切，理由如下
連接OD、OB，
∵⊙O與CD相切于點D，
∴OD⊥CD，∠ODC=90°．
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC垂直平分BD，AD=CD=CB．
∴△ABD的外接圓⊙O的圓心O在AC上，
∵OD=OB，OC=OC，CB=CD，
∴△OBC≌△ODC．
∴∠OBC=∠ODC=90°，
又∵OB為半徑，
∴⊙O與BC相切；
（2）∵AD=CD，
∴∠ACD=∠CAD．
∵AO=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵∠COD=∠OAD+∠AOD，
∠COD=2∠CAD．
∴∠COD=2∠ACD
又∵∠COD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=30°．
∴OD=

1

2

OC，
即r=

1

2

（r+2）．
∴r=2．

點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)，利用了切線的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．