Question

如圖1，直線y=-

4

3

x+b分別與x軸、y軸交于A、B兩點，與直線y=kx交于點C（2，

4

3

）．平行于y軸的直線l從原點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右平移，到C點時停止；直線l分別交線段BC、OC、x軸于點D、E、P，以DE為斜邊向左側作等腰直角△DEF，設直線l的運動時間為t（秒）．
（1）填空：k=

 

；b=

 

；
（2）當t為何值時，點F在y軸上（如圖2所示）；
（3）設△DEF與△BCO重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t的函數(shù)關系式（不要求寫解答過程），并寫出t的取值范圍．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得k和b的值；
（2）當F在y軸上時，F(xiàn)到DE的距離等于DE的長的一半，據(jù)此即可列方程求得t的值；
（3）分F在y軸的左側和右側兩種情況進行討論，當F在y軸的左側時，陰影部分是兩個等腰直角三角形面積的差，當F在y軸的右側時，陰影部分就是△DEF的面積，根據(jù)三角形的面積公式即可求得函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）把（2，

4

3

）代入y=-

4

3

x+b得：-

8

3

+b=

4

3

，解得：b=4；
把（2，

4

3

）代入y=kx中，2k=

4

3

，解得：k=

2

3

．
故答案是：

2

3

，4；
（2）解：由（1）得兩直線的解析式為：
y=-

4

3

x+4和y=

2

3

x，
依題意得OP=t，則
D（t，-

4

3

t+4），E（t，

2

3

t），
∴DE=-2t+4，
作FG⊥DE于G，則FG=OP=t
∵△DEF是等腰直角三角形，F(xiàn)G⊥DE，
∴FG=

1

2

DE，
即t=

1

2

（-2t+4），
解得t=1．

（3）當0＜t≤1時（如圖1），S_△DEF=

1

2

（-

4

3

t+4-

2

3

t）•

1

2

（-

4

3

t+4-

2

3

t）=

1

4

（-2t+4）²=（t-2）²，
在y軸的左邊部分是等腰直角三角形，底邊上的高是：

1

2

（-

4

3

t+4-

2

3

t）-t=

1

2

（-2t+4）-t=2-2t，則面積是：（2-2t）²．
S=（t-2）²-（2-2t）²=-3t²+4t；
當1＜t＜2時（備用圖），作FK⊥DE于點K．
S=（t-2）²．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，以及三角形的面積的計算，正確表示出DE的長是關鍵．