Question

如圖，在平行四邊形ABCD中對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接DE，BF．
（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；
（2）若DE=DC=EC，求AD：DC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由在平行四邊形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，易證得△ABE≌△CDF，即可得BE∥DF，BE=DF，則可證得四邊形BFDE是平行四邊形；
（2）首先設(shè)OE=x，由DE=DC=EC與平行四邊形的性質(zhì)，表示出AF與DF的長(zhǎng)，再由勾股定理即可求得AD：DC的值．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°，BE∥DF，
在△ABE和△CDF中，

∠BAE=∠DCF ∠AEB=∠CFD AB=CD

，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∴四邊形BFDE是平行四邊形；

（2）解：設(shè)OE=x，
∵四邊形BFDE是平行四邊形，
∴OF=OE=x，
∵DE=DC=EC，DF⊥AC，
∴FC=EF=2x，
∴DF=

CD2-FC2

=2

3

x，
∴CD=EC=EF+FC=4x，
∵△ABE≌△CDF，
∴AE=FC=2x，
∴AF=AE+EF=4x，
在△ADF中，AD=

AF2+DF2

=2

7

x，
∴AD：DC=2

7

x：4x=

7

：2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．