Question

如圖，一次函數(shù)y=﹣x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=﹣x²+bx+c過(guò)A、B兩點(diǎn)．

（1）求這個(gè)拋物線的解析式；

（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個(gè)拋物線于N．求當(dāng)t取何值時(shí)，MN有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

              解：（1）∵y=﹣+2分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，

∴A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為：A（0，2），B（4，0），

將x=0，y=2代入y=﹣x²+bx+c得c=2

將x=4，y=0代入y=﹣x²+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=，

∴拋物線解析式為：y=﹣x²+x+2，

（2）如圖1，設(shè)MN交x軸于點(diǎn)E，

則E（t，0），BE=4﹣t．

∵tan∠ABO===，

∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t．

又N點(diǎn)在拋物線上，且x_N=t，∴y_N=﹣t²+t+2，

∴MN=y_N﹣ME=﹣t²+t+2﹣（2﹣t）=﹣t²+4t

∴當(dāng)t=2時(shí)，MN有最大值4，

（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．

以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，D點(diǎn)的可能位置有三種情形，

如圖2所示．

（i）當(dāng)D在y軸上時(shí)，設(shè)D的坐標(biāo)為（0，a）

由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a₁=6，a₂=﹣2

從而D為（0，6）或D（0，﹣2），

（ii）當(dāng)D不在y軸上時(shí)，由圖可知D₃為D₁N與D₂M的交點(diǎn)，

易得D₁N的方程為y=﹣x+6，D₂M的方程為y=x﹣2，

由兩方程聯(lián)立解得D為（4，4）

故所求的D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），（0，﹣2）或（4，4）