Question

    已知拋物線(xiàn)：．點(diǎn)F(1，1)．

    (Ⅰ) 求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

    (Ⅱ) ①若拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為A．連接AF，并延長(zhǎng)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)B，求證：

    ②拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)P（）)（）．連接PF．并延長(zhǎng)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q（），試判斷是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；

    (Ⅲ) 將拋物線(xiàn)作適當(dāng)?shù)钠揭疲�得拋物線(xiàn)：，若時(shí)．恒成立，求m的最大值．

Answer 1

解 (I)∵，

∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()．

(II)①根據(jù)題意，可得點(diǎn)A(0，1)，

∵F(1，1)．

∴AB∥x軸．得AF=BF=1，

②成立．

理由如下：

如圖，過(guò)點(diǎn)P（）作PM⊥AB于點(diǎn)M，則FM=，PM=（）

∴Rt△PMF中，有勾股定理，得

又點(diǎn)P（）在拋物線(xiàn)上，

得，即

∴

即．

過(guò)點(diǎn)Q（）作QN⊥B，與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)N，

同理可得．

圖文∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，

∴△PMF∽△QNF

有

這里，

∴

即

  (Ⅲ) 令，

設(shè)其圖象與拋物線(xiàn)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，且<，

∵拋物線(xiàn)可以看作是拋物線(xiàn)左右平移得到的，

觀察圖象．隨著拋物線(xiàn)向右不斷平移，，的值不斷增大，

∴當(dāng)滿(mǎn)足，．恒成立時(shí)，m的最大值在處取得。

可得當(dāng)時(shí)．所對(duì)應(yīng)的即為m的最大值．

于是，將帶入，

有

解得或（舍）

∴

此時(shí)，，得

解得，

∴m的最大值為8.