Question

已知線段OP=1，取OP的中點P₁，取PP₁的中點P₂．
（1）比較線段OP_n與OP_n-1的大�。╪為大于1的整數(shù)）．
（2）若OP=1m，則n從何值開始，線段P_n-1P_n＜1mm．

Answer 1

考點：比較線段的長短

專題：

分析：（1）利用已知線段長度結(jié)合圖象進而分析比較線段長度即可；
（2）利用有理數(shù)的乘方運算法則進而得出n的值．

解答：解：（1）∵線段OP=1，取OP的中點P₁，取PP₁的中點P₂，
∴OP₁=

1

2

，P₁P₂=

1

4

，P₂P₃=

1

8

，P₃P₄=

1

16

，
如圖所示：當n為偶數(shù)時，OP_n＞OP_n-1，
當n為奇數(shù)時，OP_n＜OP_n-1；

（2）∵OP=1，則OP₁=

1

2

，P₁P₂=

1

4

=（

1

2

）²，P₂P₃=

1

8

=（

1

2

）³，P₃P₄=

1

16

=（

1

2

）⁴，
∴P_n-1P_n=（

1

2

）ⁿ，
∵OP=1m=1000mm，
∵1000×（

1

2

）ⁿ＜1，
當n=10，（

1

2

）ⁿ=

1

1024

，
故n≥10時，線段P_n-1P_n＜1mm．

點評：此題主要考查了比較線段長度，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關鍵．