Question

已知△ABC，以AC為邊在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD。

1.如圖1，以AB為邊在△ABC外作等腰△ABE，其中AB=AE，，試證明BD=CE；

2.如圖2，若∠ABC=30°，△ACD是等邊三角形，AB=3，BC=4，求BD的長；

3.如圖3，若∠ACB為銳角，作AH⊥BC于H，當BD²=4AH²+BC²時，問∠DAC與∠ABC有怎樣的關系，直接寫出結(jié)論（不需要證明）。

 

Answer 1

【答案】

 

1.∵∠BAE=∠CAD

∴∠CAE=∠BAD

∵AE=AB,AC=AD,

∴△ACE≌△ABD

∴BD=CE…….………………………………………………………………5分

2.如圖2，以A為頂點AB為邊在外作=60°，并在AE上取AE=AB，連結(jié)BE和CE.                  ……………………………………7分

∵是等邊三角形,

∴AD=AC，=60°.

∵=60°,

∴+=+.

即=.

∴≌.   ………………8分                                                                                

∴EC=BD.

∵=60°，AE=AB=3,

∴是等邊三角形，

∴=60°, EB= 3， …………………9分

∵,

∴.

∵，EB=3，BC=4,

∴EC=5.

∴BD=5.               ……………………10分

3.=2.       ……………………12分                               

   附：證明：

如圖３，過點B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，連結(jié)EA，EC. 并取BE的中點K，連結(jié)AK.

   ∵于H，   ∴.   ∵BE∥AH,   ∴.

   ∵，BE=2AH,   ∴.

   ∵,   ∴EC=BD.

   ∵K為BE的中點，BE=2AH,   ∴BK=AH.

   ∵BK∥AH，   ∴四邊形AKBH為平行四邊形.

 又∵,   ∴四邊形AKBH為矩形.   ∴.

   ∴AK是BE的垂直平分線.   ∴AB=AE.

   ∵AB=AE，EC=BD，AC=AD,   ∴≌.                       

   ∴.   ∴.

   即.   ∵，為銳角,   ∴.

   ∵AB=AE,   ∴.   ∴.   ∴=2.

   ∴=2  

【解析】（1）由AC=AD得∠D=∠ACD，由平行四邊形的性質(zhì)得∠D=∠ABC，在△ACD中，由內(nèi)角和定理求解；

（2）如圖2，在△ABC外作等邊△BAE，連接CE，利用旋轉(zhuǎn)法證明△EAC≌△BAD，可證∠EBC=90°，BE=AB=3，在Rt△BCE中，由勾股定理求CE，由三角形全等得BD=CE；

（3）∠DAC=2∠ABC成立，過點B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，連接EA，EC．并取BE的中點K，連接AK，仿照（2）利用旋轉(zhuǎn)法證明△EAC≌△BAD，利用內(nèi)角和定理證明結(jié)論．