如圖,雙曲線與直線l:y=-kx+b(k>0,b>0)有且只有一個公共點A,AC⊥x軸于C,直線l交x軸于點B.
(Ⅰ)求點A的橫坐標;
(Ⅱ) 已知△ABC的面積等于1,若有一動點從原點開始移動,假定其每次只能向上或向右移動1個單位長度(向上和向右的可能性相同).求3次移動后,該點在直線l上的概率.

【答案】分析:(1)先聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式即可得出關(guān)于x的一元二次方程,再根據(jù)△=0即可得出b=2k,把b=2k代入關(guān)于x的一元二次方程即可得出x的值,進而得出A點的橫坐標;
(2)由b=2k可得出直線l的方程,故可得出B點坐標,由S△ABC=AC•BC=1可得出k的值,故可得出直線l的方程,列舉出動點從原點出發(fā)每次向上或向右移動1個單位移動三次時所有可能的結(jié)果,再求出該點在直線l上的概率即可.
解答:解:(Ⅰ)聯(lián)立,得 kx2-bx+k=0.
∵雙曲線與直線有且只有一個公共點A,
∴△=b2-4k2=0,即b2=4k2,
∵b>0,k>0,
∴b=2k,
∴kx2-2kx+k=0,k(x-1)2=0.
解得:x=1,即A點橫坐標為1;

(Ⅱ)∵b=2k,
∴直線l的方程為y=-kx+2k,
令y=0得:l與x軸交點B為(2,0),
∴OB=2.
又∵A(1,k),AC⊥x軸,
∴OC=1,AC=k,BC=2-1=1.
又∵S△ABC=AC•BC=1,即•k•1=1,解得:k=2.
∴直線l的方程為 y=-2x+4,
∴動點從原點出發(fā)每次向上或向右移動1個單位,有8種可能結(jié)果:(右,右,右)、(右,右,上)、(右,上,右)、(右,上,上),(上,右,右)、(上,右,上)、(上,上,右)、(上,上,上).
其對應(yīng)的坐標分別是:(3,0)、(2,1)、(2,1)、(1,2)、(2,1)、(1,2)、(1,2)、(0,3).
其中恰好在直線l:y=-2x+4上的共有3種,
∴該點在直線l上的概率P=
點評:本題考查的是反比例函數(shù)綜合題及概率公式、一元二次方程根的判別式,先根據(jù)題意得出b與k的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求這兩個函數(shù)的解析式;
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如圖,雙曲線與直線x=k相交于點P,過點P作PA⊥y軸于A,y軸上的點A1、A2、A3…An的縱坐標是連續(xù)整數(shù),分別過A1、A2…An作x軸的平行線于雙曲線(x>0)及直線x=k分別交于點B1、B2,…Bn,C1、C2,…Cn.
(1)求A的坐標;
(2)求的值;
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(1)求A的坐標;
(2)求的值;
(3)猜想的值(直接寫答案).

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(1)求A的坐標;

(2)求的值;

(3)猜想的值(直接寫答案).

 

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