Question

如圖1，AC，BD相交于點(diǎn)O．已知∠A=∠D=90°，AC=BD．
（1）試說(shuō)明OB=OC；
（2）連結(jié)BC，AD，設(shè)E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)（圖2），試說(shuō)明EF⊥AD

Answer 1

分析：（1）連接BC，首先利用HL定理證明Rt△ABC≌Rt△DCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠OBC=∠OCB，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得BO=CO．
（2）連接AF，DF，根據(jù)直角三角形中：斜邊上的中線等于斜邊的一半可證明AF=DF，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到EF⊥AD．

解答：證明：（1）在Rt△ABC和Rt△DCB中，

AC=BD BC=BC

，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO；

（2）連接AF，DF，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABC，△BDC是直角三角形，
∵F為BC的中點(diǎn)，
∴AF=

1

2

BC，DF=

1

2

BC，
∴AF=DF，
∵EF為AD的中點(diǎn)，
∴EF⊥AD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)：斜邊上的中線等于斜邊的一半，題目難度不大，設(shè)計(jì)很好，是一道很不錯(cuò)的題目．