Question

如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A、C、D三點(diǎn)在同一直線上，連接BD、AE，并延長AE交BD于F．
（1）求證：AE=BD；
（2）試判斷直線AE與BD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)SAS判定△ACE≌△BCD，從而得到∠EAC=∠DBC，根據(jù)角之間的關(guān)系可證得AF⊥BD．
（2）互相垂直，只要證明∠AFD=90°，從而轉(zhuǎn)化為證明∠EAC+∠CDB=90°即可．

解答： （1）證明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACE=∠BCD=90°，
在△ACE和△BCD，

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

∴△ACE≌△BCD（SAS）；

（2）答：直線AE與BD互相垂直，理由為：
證明：∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠DBC，
又∵∠DBC+∠CDB=90°，
∴∠EAC+∠CDB=90°，
∴∠AFD=90°，
∴AF⊥BD，
即直線AE與BD互相垂直．

點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對全等三角形的判定及直角三角形的判定的掌握情況．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．