Question

如圖①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過點A，且BD⊥l于的D，CE⊥l于的E．
（1）求證：BD+CE=DE；
（2）當變換到如圖②所示的位置時，試探究BD、CE、DE的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證∠EAC=∠ABD，即可求證△ABD≌△CAE，根據(jù)全等三角形相等的性質(zhì)即可解題；
（2）先根據(jù)垂直的定義得到∠AEC=∠BDA=90°，再根據(jù)等角的余角相等得到∠ABD=∠CAE，則可利用“AAS”判斷△ABD≌△CAE，所以AD=CE，BD=AE，于是有BD-CE=AE-AD=DE．

解答： 證明：（1）∵∠DAB+∠EAC=90°，∠DAB+∠ABD=90°，
∴∠EAC=∠ABD，
在△ABD和△CAE中，

∠ADB=∠CEA=90° ∠ABD=∠EAC AB=AC

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，CE=AD，
∵DE=AD+AE，
∴DE=BD+CE；
（2）BD-CE=DE，
理由如下：
∵CE⊥AN，BD⊥AN，
∴∠AEC=∠BDA=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∵∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，

∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠CEA AB=CA

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE，
∴BD-CE=AE-AD=DE．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等，本題中求證△ABD≌△CAE是解題的關(guān)鍵．