Question

如圖，AC是⊙O的直徑，BC切⊙O于點(diǎn)C，AB交⊙O于點(diǎn)D，連接DO，并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．過D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：F是BC的中點(diǎn)；
（Ⅱ）若BC=2，且S_△DBF：S_△DCE=3：2，求AD：DB的值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵AC為⊙O的直徑，
∠BDC=∠ADC=90°．
∵FD、FC是⊙O的切線，
∴FD=FC．
∴∠FDC=∠FCD．
又∵∠FDB+∠FDC=∠B+∠FCD=90°，
∴∠FDB=∠B．
∴FD=FB，
∴FB=FC．
∴F是BC中點(diǎn)．

（Ⅱ）解：∵S_△DBF：S_△DCE=3：2，
又∵△DBF邊BF上的高與△DCE邊CE上的高相等，
∴BF：CE=3：2．
又BC=2，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，
∴BF=FC=1，∴CE=．
方法一：在Rt△DFE中，
∵DF=1，EF=1+=，
∴DE=，
設(shè)DE交⊙O于H，則
CE²=EH•ED，
∴（）²=EH；
∴EH=；
∴DH=-=1；
∴AC=1．
在Rt△ABC中，
AB=；
∵BC切⊙O于C，∴BD•AB=BC²=4；
∴BD=AD=；
∴．

方法二：設(shè)=k，則可設(shè)AD=km，DB=m，
∴AB=（k+1）m，
∵BC²=BD•BA，
∴（k+1）m²=4，
∴m=．
∴AC=，
∴OC=．
設(shè)DE交⊙O于H，EH=x，
由切割線定理，得
EC²=EH•ED，
即=x•（x+2）．
∵∠OCE=∠EDF=90°，∠E=∠E，
∴Rt△OCE∽R(shí)t△FDE．
∴，即=，x=；
代入（*）式，得
，∴
故AD：DB=1：4．
分析：（1）根據(jù)圓周角定理，得出CD⊥AC；根據(jù)切線長(zhǎng)定理求得FD=FC，即∠FDC=∠FCD，由于等角的余角相等，可得出∠FDB=∠B，由此可證得FD=FB=FC；
（2）由于△DBF與△DCE等高，因此它們的面積比等于底邊比，即BF：CE=3：2；由此可求得BF、FC、CE的長(zhǎng)；由切割線定理，得：EH²=EH•ED，根據(jù)勾股定理可在Rt△FED中求得ED的長(zhǎng)，由此可求出ED、DH的長(zhǎng)，也就求出了AC的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出AB的長(zhǎng)；根據(jù)切割線定理即可求出BD、AD的長(zhǎng)，由此得解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切割線定理，切線的性質(zhì)定理，勾股定理．