在課外小組活動(dòng)時(shí),小偉拿來(lái)一道題(原問(wèn)題)和小熊、小強(qiáng)交流.
原問(wèn)題:如圖1,已知△ABC,∠ACB=90° , ∠ABC=45°,分別以AB、BC為邊向外作△ABD與△BCE, 且DA=DB, EB=EC,∠ADB=∠BEC=90°,連接DE交AB于點(diǎn)F. 探究線段DF與EF的數(shù)量關(guān)系.小偉同學(xué)的思路是:過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于G,構(gòu)造全等三角形,通過(guò)推理使問(wèn)題得解.小熊同學(xué)說(shuō):我做過(guò)一道類似的題目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°.小強(qiáng)同學(xué)經(jīng)過(guò)合情推理,提出一個(gè)猜想,我們可以把問(wèn)題推廣到一般情況.請(qǐng)你參考小慧同學(xué)的思路,探究并解決這三位同學(xué)提出的問(wèn)題:
1.寫出原問(wèn)題中DF與EF的數(shù)量關(guān)系
2.如圖2,若∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°,原問(wèn)題中的其他條件不變,你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?請(qǐng)寫出你的猜想并加以證明;
3.如圖3,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,原問(wèn)題中的其他條件不變,你在(1)中
得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?請(qǐng)寫出你的猜想并加以證明
1.DF= EF. ……………………………(2分)
2.猜想:DF= FE.
證明:過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于G, 則∠DGB=90°.
∵ DA=DB,∠ADB=60°.
∴ AG=BG, △DBA是等邊三角形.
∴ DB=BA.
∵ ∠ACB=90° , ∠ABC=30°,
∴AC=AB=BG. ∴ △DBG≌△BAC.
∴ DG=BC. ∵ BE=EC, ∠BEC=60° ,
∴ △EBC是等邊三角形.
∴ BC=BE, ∠CBE=60°.
∴ DG= BE, ∠ABE=∠ABC+∠CBE=90° .
∵ ∠DFG =∠EFB,∠DGF=∠EBF,
∴ △DFG≌△EFB. ∴ DF= EF. ………………(7分)
3.猜想:DF= FE.
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H, 連接HC、HE、HE交CB于K,則∠DHB=90°.
∵ DA=DB, ∴AH=BH, ∠1=∠HDB.
∵ ∠ACB=90°,∴ HC=HB.
∵ EB=EC,HE=HE,
∴ △HBE≌△HCE.
∴ ∠2=∠3,∠4=∠BEH. ∴HK⊥BC.
∴ ∠BKE=90°.
∵ ∠ADB=∠BEC=2∠ABC,
∴ ∠HDB=∠BEH=∠ABC.
∴ ∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90°,
∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90°.
∴ DB//HE, DH//BE.
∴ 四邊形DHEB是平行四邊形.
∴DF=EF. ………………………………………………………(12分)
解析:本題的解題思路是通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)求解.先根據(jù)直角三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)得到一些隱含的條件,然后根據(jù)所得的條件來(lái)證明所構(gòu)建的三角形的全等;再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出DF=EF的猜想.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012屆四川樂(lè)山市中區(qū)中考模擬數(shù)學(xué)試卷(帶解析) 題型:解答題
在課外小組活動(dòng)時(shí),小偉拿來(lái)一道題(原問(wèn)題)和小熊、小強(qiáng)交流.
原問(wèn)題:如圖1,已知△ABC, ∠ACB=90°, ∠ABC=45°,分別以AB、BC為邊向外作△ABD與△BCE, 且DA=DB, EB=EC,∠ADB=∠BEC=90°,連接DE交AB于點(diǎn)F. 探究線段DF與EF的數(shù)量關(guān)系.小偉同學(xué)的思路是:過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于G,構(gòu)造全等三角形,通過(guò)推理使問(wèn)題得解.小熊同學(xué)說(shuō):我做過(guò)一道類似的題目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°.小強(qiáng)同學(xué)經(jīng)過(guò)合情推理,提出一個(gè)猜想,我們可以把問(wèn)題推廣到一般情況.請(qǐng)你參考小慧同學(xué)的思路,探究并解決這三位同學(xué)提出的問(wèn)題:
【小題1】寫出原問(wèn)題中DF與EF的數(shù)量關(guān)系
【小題2】如圖2,若∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°,原問(wèn)題中的其他條件不變,你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?請(qǐng)寫出你的猜想并加以證明;
【小題3】如圖3,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,原問(wèn)題中的其他條件不變,你在(1)中
得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?請(qǐng)寫出你的猜想并加以證明
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年四川樂(lè)山市區(qū)中考模擬數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
在課外小組活動(dòng)時(shí),小偉拿來(lái)一道題(原問(wèn)題)和小熊、小強(qiáng)交流.
原問(wèn)題:如圖1,已知△ABC, ∠ACB=90° , ∠ABC=45°,分別以AB、BC為邊向外作△ABD與△BCE, 且DA=DB, EB=EC,∠ADB=∠BEC=90°,連接DE交AB于點(diǎn)F. 探究線段DF與EF的數(shù)量關(guān)系.小偉同學(xué)的思路是:過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于G,構(gòu)造全等三角形,通過(guò)推理使問(wèn)題得解.小熊同學(xué)說(shuō):我做過(guò)一道類似的題目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°.小強(qiáng)同學(xué)經(jīng)過(guò)合情推理,提出一個(gè)猜想,我們可以把問(wèn)題推廣到一般情況.請(qǐng)你參考小慧同學(xué)的思路,探究并解決這三位同學(xué)提出的問(wèn)題:
1.寫出原問(wèn)題中DF與EF的數(shù)量關(guān)系
2.如圖2,若∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°,原問(wèn)題中的其他條件不變,你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?請(qǐng)寫出你的猜想并加以證明;
3.如圖3,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,原問(wèn)題中的其他條件不變,你在(1)中
得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?請(qǐng)寫出你的猜想并加以證明
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