【題目】定義:點A與⊙O上所有點的連線段中,長度的最小值稱為點A到⊙O的最小距離,記為mA;點A與⊙O上所有點的連線段中,長度的最大值稱為點A到⊙O的最大距離,記為MA,如圖,⊙O的半徑為r,點A在⊙O外,且OA=d,則mA=d﹣r.證明如下:
證明:如圖1,設(shè)B為圓上任意一點,連結(jié)OA、OB、AB
①當O、A、B不共線時,AB>OA﹣OB
即AB>d﹣r
②當O、A、B共線時,AB=OA﹣OB
即AB=d﹣r
綜上,AB≥d﹣r,即mA=d﹣r
(1)利用剛才的證明,結(jié)合所給的圖2,⊙O的半徑為r,點A在⊙O外,且OA=d,探究MA,你的結(jié)論是MA= ,請證明你的結(jié)論;
(2)已知⊙O的半徑為2,mA=4,則MA= ;
(3)在平面直角坐標系中,以原點O為圓心,6為半徑作⊙O,第二象限的點A的坐標為(﹣3,a),且mA=1,求a的值.
【答案】(1)d+r;(2)8;(3)a=4或 .
【解析】
(1)由三角形的三邊關(guān)系可得結(jié)論;
(2)由mA=4=dr,MA=d+r,可求解;
(3)分點A在圓內(nèi)和圓外兩種情況討論,由勾股定理可求解.
(1)結(jié)論是MA=d+r;
如圖2,
①當O、A、B不共線時,AB<OA+OB
即AB<d+r
②當點O在線段AB上時,AB=OA+OB
即AB=d+r
綜上,AB≤d+r,即MA=d+r;
故答案為:d+r;
(2)∵mA=4=d﹣r,且r=2,
∴d=6,
∴MA=d+r=6+2=8,
故答案為:8;
(3)如圖3,若點A在圓O內(nèi),過點A作AE⊥x軸,延長OA交圓O于點B,
∵點A的坐標為(﹣3,a),
∴EO=3,AE=a,
∴AO=,
∵mA=1,
∴6﹣AO=1,
∴=5,且a>0,
∴a=4;
若點A'在在圓O外,過點A'作A'E⊥x軸,連接OA'交圓O于點B',
∴AO==,
∵mA=1,
∴AO﹣6=1,
∴=7,且a>0,
∴a=,
綜上所述:a=4或.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,PA、PB是⊙O的切線,A,B為切點,D為⊙O上一點.
(1)求證:∠P=180°﹣2∠D;
(2)如圖,PE∥BD交AD于點E,若DE=2AE,tan∠OPE=,⊙O的半徑為2,求AE的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,CA=CB,∠ACB=α(0°<α<180°).點P是平面內(nèi)不與A,C重合的任意一點,連接AP,將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP,連接AD,CP.點M是AB的中點,點N是AD的中點.
(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖1,當α=60°時,的值是 ,直線MN與直線PC相交所成的較小角的度數(shù)是 .
(2)類比探究:如圖2,當α=120°時,請寫出的值及直線MN與直線PC相交所成的較小角的度數(shù),并就圖2的情形說明理由.
(3)解決問題:如圖3,當α=90°時,若點E是CB的中點,點P在直線ME上,請直接寫出點B,P,D在同一條直線上時的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公司有A型產(chǎn)品40件,B型產(chǎn)品60件,分配給下屬甲、乙兩個商店銷售,其中70件給甲店,30件給乙店,且都能賣完.兩商店銷售這兩種產(chǎn)品每件的利潤(元)如下表:
A型利潤(元/件) | B型利潤(元/件) | |
甲店 | 180 | 150 |
乙店 | 120 | 110 |
(1)設(shè)分配給甲店A型產(chǎn)品x件,這家公司賣出這100件產(chǎn)品的總利潤為W(元),求W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;
(2)若要求總利潤超過14960元,有多少種不同分配方案?請列出具體方案;
(3)為了促銷,公司決定僅對甲店A型產(chǎn)品讓利銷售,每件讓利a元,但讓利后A型產(chǎn)品的每件利潤仍高于甲店B型產(chǎn)品的每件利潤,甲店的B型產(chǎn)品以及乙店的A,B型產(chǎn)品的每件利潤不變,該公司如何設(shè)計分配方案,使總利潤達到最大?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=+,點D為邊AB上一點,連接CD.將△ACD沿直線CD翻折至△ECD,CE恰好過AB的中點F.連接AE交CD的延長線于點H,若∠ACD=15°,則DH的長為( 。
A.B.C.D.1
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在等邊△ABC中,AB=4,D、E分別為射線CB、AC上的兩動點,且BD=CE,直線AD和BE相交于M點,則CM的最大值為( 。
A.2B.C.3D.4
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【題目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D為平面內(nèi)的一點.
(1)如圖1,當點D在邊BC上時,且∠BAD=30°,求證:AD=BD.
(2)如圖2,當點D在△ABC的外部,且滿足∠BDC﹣∠ADC=45°,求證:BD=AD.
(3)如圖3,若AB=4,當D、E分別為AB、AC的中點,把△DAE繞A點順時針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0<α≤180°),直線BD與CE的交點為P,連接PA,直接寫出△PAC面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某坦克部隊需要經(jīng)過一個拱橋(如圖所示),拱橋的輪廓是拋物線形,拱高OC=6m,跨度AB=20m,有5根支柱:AG、MN、CD、EF、BH,相鄰兩支柱的距離均為5m.
(1)以AB的中點為原點,AB所在直線為x軸,支柱CD所在直線為y軸,建立平面直角坐標系,求拋物線的解析式;
(2)若支柱每米造價為2萬元,求5根支柱的總造價;
(3)拱橋下面是雙向行車道(正中間是一條寬2m的隔離帶),其中的一條行車道是坦克的行進方向,現(xiàn)每輛坦克長4m,寬2m,高3m,行駛速度為24km/h,坦克允許并排行駛,坦克前后左右距離忽略不計,試問120輛該型號坦克從剛開始進入到全部通過這座長1000m的拱橋隧道所需最短時間為多少分鐘?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)的部分圖象如圖所示,圖象過點,對稱軸為直線,下列結(jié)論:①;②;③一元二次方程的解是,;④當時,,其中正確的結(jié)論有__________.
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